Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
Passo 1
Enunciado e o que se pede. A equação dada é
As perguntas que precisamos responder são:
- Qual é a ordem da equação?
- É uma EDO ou uma EDP?
- A equação é linear ou não-linear?
- Ela é homogênea ou não-homogênea?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A variável independente é
e a dependente é (ou seja, ). - Aparecem derivadas de ordem
e de ordem . - Há um fator
multiplicando a derivada de ordem . - O termo do lado direito é
, que é a tangente de (ou seja, ).
Passo 2
Determinar a ordem da equação (o que é “ordem” e como achar).
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Escrevemos a -ésima derivada como
. Por exemplo,
é
e
é a quinta derivada.
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Escrevemos a
Na equação dada aparecem explicitamente
(que é
) e
(que é
). A maior ordem é
. Portanto a ordem da equação é
.
Passo 3
Determinar se é EDO (equação diferencial ordinária) ou EDP (parcial) — o que isso significa.
Definição curta: uma EDO envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente; uma EDP envolve derivadas parciais e depende de duas ou mais variáveis independentes.
Definição curta: uma EDO envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente; uma EDP envolve derivadas parciais e depende de duas ou mais variáveis independentes.
Aqui só aparece derivação em relação a
e a função dependente é
(uma variável independente). Não há derivadas parciais nem outras variáveis independentes. Logo é uma EDO.
Passo 4
Analisar linearidade: o que é uma equação diferencial linear e como testar.
Definição prática (forma padrão): uma equação diferencial de ordem é linear se pode ser escrita como
Definição prática (forma padrão): uma equação diferencial de ordem
onde os coeficientes
dependem somente da variável independente
(podem ser funções de
) e não dependem de
, e cada termo é da forma coeficiente
derivada (ou derivada zerada para
). A equação é linear porque
e suas derivadas aparecem apenas com potência
e sem serem argumentos de funções não-lineares (como seno, produto entre
e
, etc.). Uma maneira operacional de testar linearidade é verificar se o operador diferencial é linear:
.
Aplicando isso à nossa equação: o termo problemático é
. Note que o fator multiplicador
depende de
(porque aparece
dentro de
). Assim o coeficiente da derivada de ordem
não é uma função apenas de
, é uma função que envolve
. Por isso o operador não é linear: se eu substituir
por
o
não se separa linearmente. Outro aspecto: a presença de
dentro de uma função não-linear (
) já torna o termo não-linear.
Para contrastar com um caso linear: se tivéssemos
(ou seja,
multiplicando), isso seria compatível com linearidade porque
depende só de
. Mas no nosso caso é
, que depende de
. Portanto a equação é não-linear.
Passo 5
Analisar homogeneidade: definição e aplicação ao caso.
Para equações diferenciais lineares, dizemos que a equação é homogênea se o termo do lado direito for zero (isto é, na forma padrão), caso contrário é não-homogênea. Exemplo:
é linear homogênea;
com
é linear não-homogênea.
Para equações diferenciais lineares, dizemos que a equação é homogênea se o termo do lado direito for zero (isto é,
No nosso caso o termo do lado direito é
(ou seja,
), que não é identicamente zero. Portanto, no sentido usual de classificação (homogeneidade de equações diferenciais), a equação é não-homogênea.
Observação didática: quando a equação é não-linear (como a nossa), o termo “homogênea” pode ter significados técnicos diferentes em contextos avançados, mas nas provas e no que se pede aqui normalmente interpretamos “homogênea / não-homogênea” como falando da presença ou não de um termo independente (lado direito distinto de zero). Seguindo essa interpretação, a equação é não-homogênea por ter
no lado direito.
Passo 6
Resumo final das classificações para fixar bem (vamos consolidar numa frase curta antes da resposta final).
- Ordem: máxima derivada presente é a de ordem
. - É uma equação que envolve derivadas apenas em relação a
, logo é uma EDO. - Não é linear porque o coeficiente da derivada de ordem
é , que depende de . - Não é homogênea porque o termo do lado direito é
.
Resposta
Ordem:
EDO ou EDP: EDO
Linear ou não-linear: não-linear
Homogênea ou não-homogênea: não-homogênea
EDO ou EDP: EDO
Linear ou não-linear: não-linear
Homogênea ou não-homogênea: não-homogênea