Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\sin (t+y) \frac{d^{5} y}{d t^{5}}=\operatorname{tg}(t)

Passo 1

Enunciado e o que se pede. A equação dada é
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\sin(t+y)\,\frac{d^{5} y}{d t^{5}}=\operatorname{tg}(t).
As perguntas que precisamos responder são:
  • Qual é a ordem da equação?
  • É uma EDO ou uma EDP?
  • A equação é linear ou não-linear?
  • Ela é homogênea ou não-homogênea?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável independente é t e a dependente é y (ou seja, y=y(t)).
  • Aparecem derivadas de ordem 2 e de ordem 5.
  • Há um fator \sin(t+y) multiplicando a derivada de ordem 5.
  • O termo do lado direito é \operatorname{tg}(t), que é a tangente de t (ou seja, \tan(t)).

Passo 2

Determinar a ordem da equação (o que é “ordem” e como achar).
Definição: a ordem de uma equação diferencial é a maior ordem de derivada que aparece na equação. Escrevemos a n-ésima derivada como y^{(n)}. Por exemplo, y'' é y^{(2)} e y^{(5)} é a quinta derivada.
Na equação dada aparecem explicitamente \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}} (que é y^{(2)}) e \dfrac{d^{5}y}{dt^{5}} (que é y^{(5)}). A maior ordem é \,5. Portanto a ordem da equação é \,5.

Passo 3

Determinar se é EDO (equação diferencial ordinária) ou EDP (parcial) — o que isso significa.
Definição curta: uma EDO envolve derivadas de uma função em relação a uma única variável independente; uma EDP envolve derivadas parciais e depende de duas ou mais variáveis independentes.
Aqui só aparece derivação em relação a t e a função dependente é y(t) (uma variável independente). Não há derivadas parciais nem outras variáveis independentes. Logo é uma EDO.

Passo 4

Analisar linearidade: o que é uma equação diferencial linear e como testar.
Definição prática (forma padrão): uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita como
a_n(t)\,y^{(n)} + a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = g(t),
onde os coeficientes a_i(t) dependem somente da variável independente t (podem ser funções de t) e não dependem de y, e cada termo é da forma coeficiente \times derivada (ou derivada zerada para y). A equação é linear porque y e suas derivadas aparecem apenas com potência 1 e sem serem argumentos de funções não-lineares (como seno, produto entre y e y', etc.). Uma maneira operacional de testar linearidade é verificar se o operador diferencial é linear: L[\alpha y_1 + \beta y_2] = \alpha L[y_1] + \beta L[y_2].
Aplicando isso à nossa equação: o termo problemático é \sin(t+y)\,\dfrac{d^{5} y}{d t^{5}}. Note que o fator multiplicador \sin(t+y) depende de y (porque aparece y dentro de \sin(\cdot)). Assim o coeficiente da derivada de ordem 5 não é uma função apenas de t, é uma função que envolve y. Por isso o operador não é linear: se eu substituir y por \alpha y_1 + \beta y_2 o \sin(t+y) não se separa linearmente. Outro aspecto: a presença de y dentro de uma função não-linear ( \sin) já torna o termo não-linear.
Para contrastar com um caso linear: se tivéssemos \sin(t)\,\dfrac{d^{5} y}{dt^{5}} (ou seja, \sin(t) multiplicando), isso seria compatível com linearidade porque \sin(t) depende só de t. Mas no nosso caso é \sin(t+y), que depende de y. Portanto a equação é não-linear.

Passo 5

Analisar homogeneidade: definição e aplicação ao caso.
Para equações diferenciais lineares, dizemos que a equação é homogênea se o termo do lado direito for zero (isto é, g(t)=0 na forma padrão), caso contrário é não-homogênea. Exemplo: \,y''+p(t)y'+q(t)y=0 é linear homogênea; \,y''+p(t)y'+q(t)y=g(t) com g(t)\neq 0 é linear não-homogênea.
No nosso caso o termo do lado direito é \operatorname{tg}(t) (ou seja, \tan(t)), que não é identicamente zero. Portanto, no sentido usual de classificação (homogeneidade de equações diferenciais), a equação é não-homogênea.
Observação didática: quando a equação é não-linear (como a nossa), o termo “homogênea” pode ter significados técnicos diferentes em contextos avançados, mas nas provas e no que se pede aqui normalmente interpretamos “homogênea / não-homogênea” como falando da presença ou não de um termo independente (lado direito distinto de zero). Seguindo essa interpretação, a equação é não-homogênea por ter \operatorname{tg}(t) no lado direito.

Passo 6

Resumo final das classificações para fixar bem (vamos consolidar numa frase curta antes da resposta final).
  • Ordem: máxima derivada presente é a de ordem \,5.
  • É uma equação que envolve derivadas apenas em relação a t, logo é uma EDO.
  • Não é linear porque o coeficiente da derivada de ordem \,5 é \sin(t+y), que depende de y.
  • Não é homogênea porque o termo do lado direito é \operatorname{tg}(t)\neq 0.

Resposta

Ordem: \,5
EDO ou EDP: EDO
Linear ou não-linear: não-linear
Homogênea ou não-homogênea: não-homogênea

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