Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
\beta^{2} \frac{\partial^{3} u(x, \beta)}{\partial x^{3}}+\ln (\beta)=\frac{\partial u(x, \beta)}{\partial \beta}

Passo 1

O enunciado pede que você classifique a equação diferencial dada em quatro aspectos:
  1. Ordem da equação.
  2. Se é EDO ou EDP.
  3. Se é linear ou não-linear.
  4. Se é homogênea ou não-homogênea.
Informações fornecidas (explicitamente dadas pelo enunciado):
\beta^{2}\frac{\partial^{3}u(x,\beta)}{\partial x^{3}}+\ln(\beta)=\frac{\partial u(x,\beta)}{\partial \beta}.
  • A função incógnita é u e depende de x e de \beta, ou seja, u=u(x,\beta).
  • Aparecem derivadas parciais \dfrac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}} e \dfrac{\partial u}{\partial \beta}.
  • Há um termo que é \ln(\beta) (função dos independentes, sem u).

Passo 2

O que significa “ordem” e como eu encontro aqui?
  • Definição didática: a ordem de uma equação diferencial (parcial ou ordinária) é o maior número de derivadas (ordem) que aparece da função desconhecida. Em PDEs, consideramos todas as derivadas parciais e tomamos a maior ordem.
  • Na equação dada aparecem a terceira derivada parcial em x, \dfrac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}, e a primeira derivada parcial em \beta, \dfrac{\partial u}{\partial \beta}.
  • A maior ordem entre essas é 3. Logo a ordem da equação é \;3.
Exemplo rápido para fixar: se eu tivesse \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial u}{\partial t}=0, a ordem seria 2 (porque 2 é a maior ordem presente). Mesmo raciocínio aqui.

Passo 3

EDO ou EDP — como distinguir?
  • Definição didática: EDO (equação diferencial ordinária) envolve derivadas em relação a uma única variável independente; EDP (equação diferencial parcial) envolve derivadas parciais, ou seja, a função depende de duas ou mais variáveis independentes e aparecem derivadas parciais.
  • Na equação dada a incógnita é u(x,\beta) e aparecem derivadas parciais \partial/\partial x e \partial/\partial \beta.
  • Portanto é uma EDP (equação diferencial parcial).
Exemplo de contraste: y'(t)=3y(t) é EDO; já u_t=u_{xx} é EDP.

Passo 4

Linear ou não-linear — o que significa e como aplicar?
  • Definição didática: uma equação diferencial (ou PDE) é linear se a incógnita u e todas as suas derivadas aparecem apenas em primeira potência e não estão multiplicadas entre si nem em funções não-lineares (como \sin(u), u^2, u\,u_x, etc.). Coeficientes que dependem apenas das variáveis independentes (como x ou \beta) são permitidos e não quebram a linearidade.
  • Examine a equação: \beta^{2}\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}+\ln(\beta)=\frac{\partial u}{\partial \beta}.Os termos que envolvem u são \beta^{2}\dfrac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}} e \dfrac{\partial u}{\partial \beta}. Ambos são lineares em u (aparecem na primeira potência e não multiplicam entre si). O termo \ln(\beta) não envolve u.
  • Conclusão: a equação é linear.
Observação útil: o coeficiente \beta^{2} depende de uma variável independente ( \beta), então é um coeficiente variável, mas isso não a torna não-linear.

Passo 5

Homogênea ou não-homogênea — significado e aplicação
  • Definição didática: uma equação linear é dita homogênea se todos os termos da equação envolvem a função incógnita u ou suas derivadas, ou equivalentemente se, ao escrever a equação na forma L[u]=f, temos f\equiv 0. Se existe um termo independente de u (um “termo conhecido” ou fonte), então a equação é não-homogênea.
  • Reescrevendo a equação em forma padrão: \beta^{2}\frac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}} - \frac{\partial u}{\partial \beta} = -\ln(\beta).Aqui o lado direito é -\ln(\beta), que depende só de \beta e não de u.
  • Logo a equação é não-homogênea (tem termo fonte \ln(\beta)).
Exemplo prático: u_{xx}+u=0 é homogênea; u_{xx}+u=\sin x é não-homogênea.

Passo 6

Resumo didático final (cada conceito com uma frase curta de verificação)
  • Ordem: olhe todas as derivadas parciais e escolha a maior ordem — aqui é 3 por \dfrac{\partial^{3}u}{\partial x^{3}}.
  • EDO/EDP: se aparece derivada parcial e a função tem mais de uma variável independente, é EDP — aqui é EDP porque u=u(x,\beta) e aparecem \partial/\partial x e \partial/\partial\beta.
  • Linearidade: verifique se u e suas derivadas aparecem apenas linearmente (sem produtos entre si ou funções não-lineares de u) — aqui sim, então é linear.
  • Homogeneidade: verifique se existe um termo independente de u (fonte) — aqui existe \ln(\beta), então é não-homogênea.

Resposta

Ordem: 3
Tipo: EDP (equação diferencial parcial)
Linearidade: linear
Homogeneidade: não-homogênea

Exercícios relacionados