Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
Passo 1
O enunciado pede que você classifique a equação diferencial dada em quatro aspectos:
- Ordem da equação.
- Se é EDO ou EDP.
- Se é linear ou não-linear.
- Se é homogênea ou não-homogênea.
Informações fornecidas (explicitamente dadas pelo enunciado):
- A função incógnita é
e depende de e de , ou seja, . - Aparecem derivadas parciais
e . - Há um termo que é
(função dos independentes, sem ).
Passo 2
O que significa “ordem” e como eu encontro aqui?
- Definição didática: a ordem de uma equação diferencial (parcial ou ordinária) é o maior número de derivadas (ordem) que aparece da função desconhecida. Em PDEs, consideramos todas as derivadas parciais e tomamos a maior ordem.
- Na equação dada aparecem a terceira derivada parcial em
, , e a primeira derivada parcial em , . - A maior ordem entre essas é
. Logo a ordem da equação é .
Exemplo rápido para fixar: se eu tivesse
, a ordem seria
(porque
é a maior ordem presente). Mesmo raciocínio aqui.
Passo 3
EDO ou EDP — como distinguir?
- Definição didática: EDO (equação diferencial ordinária) envolve derivadas em relação a uma única variável independente; EDP (equação diferencial parcial) envolve derivadas parciais, ou seja, a função depende de duas ou mais variáveis independentes e aparecem derivadas parciais.
- Na equação dada a incógnita é
e aparecem derivadas parciais e . - Portanto é uma EDP (equação diferencial parcial).
Exemplo de contraste:
é EDO; já
é EDP.
Passo 4
Linear ou não-linear — o que significa e como aplicar?
- Definição didática: uma equação diferencial (ou PDE) é linear se a incógnita
e todas as suas derivadas aparecem apenas em primeira potência e não estão multiplicadas entre si nem em funções não-lineares (como , , , etc.). Coeficientes que dependem apenas das variáveis independentes (como ou ) são permitidos e não quebram a linearidade. - Examine a equação:
Os termos que envolvem são e . Ambos são lineares em (aparecem na primeira potência e não multiplicam entre si). O termo não envolve . - Conclusão: a equação é linear.
Observação útil: o coeficiente
depende de uma variável independente (
), então é um coeficiente variável, mas isso não a torna não-linear.
Passo 5
Homogênea ou não-homogênea — significado e aplicação
- Definição didática: uma equação linear é dita homogênea se todos os termos da equação envolvem a função incógnita
ou suas derivadas, ou equivalentemente se, ao escrever a equação na forma , temos . Se existe um termo independente de (um “termo conhecido” ou fonte), então a equação é não-homogênea. - Reescrevendo a equação em forma padrão:
Aqui o lado direito é , que depende só de e não de . - Logo a equação é não-homogênea (tem termo fonte
).
Exemplo prático:
é homogênea;
é não-homogênea.
Passo 6
Resumo didático final (cada conceito com uma frase curta de verificação)
- Ordem: olhe todas as derivadas parciais e escolha a maior ordem — aqui é
por . - EDO/EDP: se aparece derivada parcial e a função tem mais de uma variável independente, é EDP — aqui é EDP porque
e aparecem e . - Linearidade: verifique se
e suas derivadas aparecem apenas linearmente (sem produtos entre si ou funções não-lineares de ) — aqui sim, então é linear. - Homogeneidade: verifique se existe um termo independente de
(fonte) — aqui existe , então é não-homogênea.
Resposta
Ordem:
Tipo: EDP (equação diferencial parcial)
Linearidade: linear
Homogeneidade: não-homogênea
Tipo: EDP (equação diferencial parcial)
Linearidade: linear
Homogeneidade: não-homogênea