Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
y^{\prime \prime}+\left(2 e^{-y}\right) y^{\prime \prime \prime}+\sin \left(t^{2}\right) y^{\prime}=t^{4}

Passo 1

O enunciado pede que a equação diferencial abaixo seja classificada quanto a: ordem, se é EDO ou EDP, se é linear ou não-linear e se é homogênea ou não-homogênea.
y''+\left(2e^{-y}\right)y'''+\sin\left(t^{2}\right)y'=t^{4}
Informações dadas e observações imediatas:
  • A equação envolve as derivadas y', y'' e y'''.
  • A variável independente aparente é t e a dependente é y(t).
  • Há um termo no lado direito igual a t^{4}.
  • Um coeficiente multiplicando y''' é 2e^{-y}, que depende de y.
  • A tarefa é apenas classificar a equação segundo os itens listados.

Passo 2

Determinar a ordem da equação (definição e aplicação).
  • Definição: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de y que aparece na equação.
  • Na equação aparecem \,y'\,,\,y'' e \,y'''. O maior é \,y''', que é a derivada de terceira ordem.
  • Conclusão: a equação é de ordem \,3.

Passo 3

Determinar se é EDO (equação diferencial ordinária) ou EDP (equação diferencial parcial) (definição e aplicação).
  • Definição: EDO envolve derivadas em relação a uma única variável independente; EDP envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes.
  • Aqui a única variável independente visível é t e as derivadas são ordinárias \,y',y'',y'''.
  • Conclusão: é uma EDO (equação diferencial ordinária).

Passo 4

Definir o que é uma equação diferencial linear de ordem 3 e checar linearidade (explicação passo a passo).
  • Definição: uma EDO linear de terceira ordem tem forma
a_{3}(t)\,y^{(3)}+a_{2}(t)\,y''+a_{1}(t)\,y'+a_{0}(t)\,y=g(t),
onde a_{i}(t) são funções que dependem apenas da variável independente t (podem ser constantes), e g(t) também depende só de t. Em particular, os coeficientes não podem depender de y nem de suas derivadas.
  • Aplicação ao nosso caso: comparar termo a termo. Na equação dada o termo que multiplica y^{(3)} é 2e^{-y}. Esse coeficiente depende de y, a variável dependente.
  • Conclusão: como existe coeficiente que depende de y, a equação NÃO tem a forma linear acima. Logo é uma equação não-linear.
  • Observação didática com exemplo:
    • Exemplo linear (para ver a diferença): \, \sin(t)\,y'' + t\,y' + 3y = t^{4} — aqui os coeficientes \sin(t),t,3 dependem só de t.
    • Exemplo não-linear: \, y\,y'' + (y')^{2} = 0 — aqui aparecem produtos entre y e suas derivadas, ou coeficientes dependendo de y, o que torna não-linear.

Passo 5

Classificar como homogênea ou não-homogênea (definição e aplicação cuidadosa).
  • Definição habitual (para equações lineares): uma equação linear é dita homogênea se o termo independente (lado direito) for zero, ou seja g(t)=0 na forma
a_{n}(t)y^{(n)}+\cdots+a_{0}(t)y=g(t).
Se g(t)\neq 0, a equação linear é não-homogênea.
  • Observação sobre equações não-lineares: o conceito de “homogeneidade” pode ter outras definições técnicas para não-lineares, mas na classificação básica pedida em provas costuma-se perguntar se o lado direito é zero ou não para decidir homogênea vs não-homogênea.
  • Aplicação ao nosso caso: o lado direito é t^{4}, que é diferente de zero.
  • Conclusão: a equação é não-homogênea (pela presença de t^{4} no membro direito). Além disso reforçamos que a equação já é não-linear, então a terminologia “linear homogênea” não se aplica aqui, mas a resposta prática pedida é “não-homogênea”.

Passo 6

Resumo didático final dos critérios usados (para você levar pra prova):
  • Ordem: identificar o maior índice de derivada presente.
  • EDO vs EDP: verificar se há só uma variável independente (EDO) ou várias (EDP).
  • Linearidade: uma EDO é linear se todas as ocorrências de y e suas derivadas aparecem com coeficientes que dependem apenas da variável independente; qualquer dependência dos coeficientes em y (ou termos não-lineares como produtos \,y\cdot y',\,(y')^{2}, \sin(y), etc.) torna a equação não-linear.
  • Homogeneidade (no sentido usual de provas): verificar se o membro direito é zero. Se não for, diz-se não-homogênea.

Resposta

Ordem: 3
Tipo: EDO (equação diferencial ordinária)
Linearidade: não-linear
Homogeneidade: não-homogênea

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