Boyce e DiPrima Dadas as equações diferenciais abaixo, classifique-as em relação a order da equação, se ela é EDO ou EDP, se ela é linear ou não-linear e se ela é homogêne. ou não-homogênea:
Passo 1
O enunciado pede que a equação diferencial abaixo seja classificada quanto a: ordem, se é EDO ou EDP, se é linear ou não-linear e se é homogênea ou não-homogênea.
Informações dadas e observações imediatas:
- A equação envolve as derivadas
, e . - A variável independente aparente é
e a dependente é . - Há um termo no lado direito igual a
. - Um coeficiente multiplicando
é , que depende de . - A tarefa é apenas classificar a equação segundo os itens listados.
Passo 2
Determinar a ordem da equação (definição e aplicação).
- Definição: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas de
que aparece na equação. - Na equação aparecem
e . O maior é , que é a derivada de terceira ordem. - Conclusão: a equação é de ordem
.
Passo 3
Determinar se é EDO (equação diferencial ordinária) ou EDP (equação diferencial parcial) (definição e aplicação).
- Definição: EDO envolve derivadas em relação a uma única variável independente; EDP envolve derivadas parciais em relação a duas ou mais variáveis independentes.
- Aqui a única variável independente visível é
e as derivadas são ordinárias . - Conclusão: é uma EDO (equação diferencial ordinária).
Passo 4
Definir o que é uma equação diferencial linear de ordem 3 e checar linearidade (explicação passo a passo).
- Definição: uma EDO linear de terceira ordem tem forma
onde
são funções que dependem apenas da variável independente
(podem ser constantes), e
também depende só de
. Em particular, os coeficientes não podem depender de
nem de suas derivadas.
- Aplicação ao nosso caso: comparar termo a termo. Na equação dada o termo que multiplica
é . Esse coeficiente depende de , a variável dependente. - Conclusão: como existe coeficiente que depende de
, a equação NÃO tem a forma linear acima. Logo é uma equação não-linear. - Observação didática com exemplo:
- Exemplo linear (para ver a diferença):
— aqui os coeficientes dependem só de . - Exemplo não-linear:
— aqui aparecem produtos entre e suas derivadas, ou coeficientes dependendo de , o que torna não-linear.
- Exemplo linear (para ver a diferença):
Passo 5
Classificar como homogênea ou não-homogênea (definição e aplicação cuidadosa).
- Definição habitual (para equações lineares): uma equação linear é dita homogênea se o termo independente (lado direito) for zero, ou seja
na forma
Se
, a equação linear é não-homogênea.
- Observação sobre equações não-lineares: o conceito de “homogeneidade” pode ter outras definições técnicas para não-lineares, mas na classificação básica pedida em provas costuma-se perguntar se o lado direito é zero ou não para decidir homogênea vs não-homogênea.
- Aplicação ao nosso caso: o lado direito é
, que é diferente de zero. - Conclusão: a equação é não-homogênea (pela presença de
no membro direito). Além disso reforçamos que a equação já é não-linear, então a terminologia “linear homogênea” não se aplica aqui, mas a resposta prática pedida é “não-homogênea”.
Passo 6
Resumo didático final dos critérios usados (para você levar pra prova):
- Ordem: identificar o maior índice de derivada presente.
- EDO vs EDP: verificar se há só uma variável independente (EDO) ou várias (EDP).
- Linearidade: uma EDO é linear se todas as ocorrências de
e suas derivadas aparecem com coeficientes que dependem apenas da variável independente; qualquer dependência dos coeficientes em (ou termos não-lineares como produtos , , etc.) torna a equação não-linear. - Homogeneidade (no sentido usual de provas): verificar se o membro direito é zero. Se não for, diz-se não-homogênea.
Resposta
Ordem:
Tipo: EDO (equação diferencial ordinária)
Linearidade: não-linear
Homogeneidade: não-homogênea
Tipo: EDO (equação diferencial ordinária)
Linearidade: não-linear
Homogeneidade: não-homogênea