Um braço robótico em uma linha de produção é representado pelo vetor posição
\vec{v}=\left[\begin{array}{l} 4 \\\\ 1 \end{array}\right]
que indica a localização da garra em relação à base do robô (origem do plano). Para realizar uma nova operação, a garra deve ser girada \mathbf{9 0}^{\circ} no sentido anti-horário, sem alterar sua distância da base.
(a) Modele essa rotação como uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}. Qual é a matriz associada a essa transformação?
(b) Determine a nova posição da garra, ou seja, calcule T(\vec{v}).
(c) Represente graficamente os vetores \vec{v} e T(\vec{v}) no plano cartesiano. Descreva geometricamente o efeito dessa rotação.
(d) Sabendo que o braço robótico possui um alcance máximo de 5 metros, a nova posição ainda está dentro do alcance? Justifique com base na geometria da rotação.

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição
\vec{v} = \begin{pmatrix}4 \\\\ 1\end{pmatrix}
e pede uma rotação de 90^\circ no sentido anti-horário em torno da origem. O conteúdo aqui é transformação linear e matrizes de rotação em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Para modelar uma rotação de ângulo \theta no sentido anti-horário usamos a matriz
R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta)\\\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}.
No caso \theta = 90^\circ, temos \cos(90^\circ)=0 e \sin(90^\circ)=1, logo
T = R\bigl(90^\circ\bigr) = \begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para encontrar a nova posição calculamos
T(\vec{v}) = \begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 \\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot4 + (-1)\cdot1\\\\ 1\cdot4 + 0\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\\\ 4\end{pmatrix}.

Passo 4

Graficamente, \vec{v}=(4,1) está no primeiro quadrante e T(\vec{v})=(-1,4) no segundo. A operação corresponde a girar o vetor original 90^\circ anti-horário em torno da origem, sem mudar seu comprimento.

Passo 5

O comprimento de \vec{v} é
\|\vec{v}\| = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}\approx4{,}12.
Como rotações preservam normas, \|T(\vec{v})\| = \sqrt{17}\approx4{,}12, que é menor que o alcance máximo de 5. Portanto a nova posição está dentro do alcance.

Resposta

(a) \displaystyle \begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}
(b) \displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\\\ 4\end{pmatrix}
(c) \vec{v}=(4,1) gira 90^\circ anti-horário para (-1,4), preservando o comprimento.
(d) Sim, porque \|T(\vec{v})\|=\sqrt{17}\approx4{,}12<5, logo está dentro do alcance.

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