que indica a localização da garra em relação à base do robô (origem do plano). Para realizar uma nova operação, a garra deve ser girada \mathbf{9 0}^{\circ} no sentido anti-horário, sem alterar sua distância da base.
(a) Modele essa rotação como uma transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}. Qual é a matriz associada a essa transformação?
(b) Determine a nova posição da garra, ou seja, calcule T(\vec{v}).
(c) Represente graficamente os vetores \vec{v} e T(\vec{v}) no plano cartesiano. Descreva geometricamente o efeito dessa rotação.
(d) Sabendo que o braço robótico possui um alcance máximo de 5 metros, a nova posição ainda está dentro do alcance? Justifique com base na geometria da rotação.
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor posição
\vec{v} = \begin{pmatrix}4 \\\\ 1\end{pmatrix}
e pede uma rotação de 90^\circ no sentido anti-horário em torno da origem. O conteúdo aqui é transformação linear e matrizes de rotação em \mathbb{R}^2.
Passo 2
Para modelar uma rotação de ângulo \theta no sentido anti-horário usamos a matriz
Graficamente, \vec{v}=(4,1) está no primeiro quadrante e T(\vec{v})=(-1,4) no segundo. A operação corresponde a girar o vetor original 90^\circ anti-horário em torno da origem, sem mudar seu comprimento.
Como rotações preservam normas, \|T(\vec{v})\| = \sqrt{17}\approx4{,}12, que é menor que o alcance máximo de 5. Portanto a nova posição está dentro do alcance.
Resposta
(a) \displaystyle \begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}
(b) \displaystyle \begin{pmatrix}-1 \\\\ 4\end{pmatrix}
(c) \vec{v}=(4,1) gira 90^\circ anti-horário para (-1,4), preservando o comprimento.
(d) Sim, porque \|T(\vec{v})\|=\sqrt{17}\approx4{,}12<5, logo está dentro do alcance.