(2,0 pontos) Seja A=V B V^{-1}. Encontre uma expressão para A^{n}, onde n é um número inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A definida por
A = V\,B\,V^{-1}
e pede uma expressão para A^n, com n inteiro positivo.
Conteúdo: usaremos a propriedade de semelhança de matrizes e a associatividade do produto para elevar A a potências.

Passo 2

Vamos ver diretamente o caso n=2.
A^2 = (V\,B\,V^{-1})(V\,B\,V^{-1}) = V\,B\,\underbrace{V^{-1}V}_{I}\,B\,V^{-1} = V\,B^2\,V^{-1}.

Passo 3

Fazemos então um argumento por indução.
Base ( n=1):
A^1 = A = V\,B\,V^{-1} = V\,B^1\,V^{-1}.
Passo indutivo: suponha que A^k = V\,B^k\,V^{-1}. Então
A^{k+1} = A^k\,A = (V\,B^k\,V^{-1})(V\,B\,V^{-1}) = V\,B^k\,\bigl(V^{-1}V\bigr)\,B\,V^{-1} = V\,B^{k+1}\,V^{-1}.

Passo 4

Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo inteiro positivo n.

Resposta

A^n = V\,B^n\,V^{-1}.

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