O Brasil taxa em 15% a renda mensal entre \mathrm{R} \ 1.313,70 e\mathrm{R} $2.625,12 e em 27,5\% a renda acima deste valor, sendo isenta a parcela inferior ou igual a\mathrm{R} $ 1.313,69$.
a) Determine uma função que represente o imposto pago sobre uma renda qualquer.

Passo 1

O enunciado dá as alíquotas e os limites de renda mensais e pede para determinar uma função que represente o imposto pago para qualquer renda mensal. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Parcela isenta (até): \mathrm{R}\$\,1.313,69.
  • Faixa intermediária: renda entre \mathrm{R}\$\,1.313,70 e \mathrm{R}\$\,2.625,12 é tributada a 15\%.
  • Faixa superior: renda acima de \mathrm{R}\$\,2.625,12 é tributada a 27{,}5\%.
    O que se pede: uma função (em função da renda mensal) que dê o valor do imposto pago.

Passo 2

Entendendo como o imposto é calculado (ideia básica e por que a função será por partes).
  • A regra descrita é uma tributação marginal por faixas: a parte da renda até \mathrm{R}\$\,1.313,69 não paga imposto; a parcela que está na faixa seguinte paga 15\% apenas sobre essa parcela; e a parcela que excede \mathrm{R}\$\,2.625,12 paga 27{,}5\% apenas sobre o que ultrapassar esse limite.
  • Por isso a função será uma função por partes (piecewise): para rendas pequenas imposto zero; para rendas médias imposto igual a 15\% multiplicado pela parcela que excede 1.313,69; para rendas maiores soma-se o imposto fixo já devido pela faixa intermediária mais 27{,}5\% sobre o que exceder 2.625,12.

Passo 3

Definindo variável e escrevendo a expressão para a faixa isenta e para a faixa intermediária.
  • Seja r a renda mensal (em reais).
  • Se r \le 1.313,69 então nenhuma parcela é tributável, logo o imposto é zero:
T(r)=0,\quad r\le 1.313,69.
  • Se 1.313,70 \le r \le 2.625,12 só a parcela acima de 1.313,69 é tributada a 15\%. Assim:
T(r)=0,15\,(r-1.313,69),\quad 1.313,70\le r\le 2.625,12.
Explicação: subtrai-se 1.313,69 porque essa parte é isenta; multiplica-se por 0,15 (ou 15\%) porque só essa parcela paga 15%.

Passo 4

Calculando o imposto correspondente ao máximo da faixa intermediária (para usar na expressão da faixa superior).
  • A parcela total dentro da faixa intermediária é
2.625,12-1.313,69 = 1.311,43.
  • O imposto sobre essa parcela, à taxa de 15\%, vale
0,15\times 1.311,43 = \frac{15}{100}\times 1.311,43 = \frac{19.671,45}{100} = 196,7145.
  • Em dinheiro normalmente arredonda-se para centavos: \mathrm{R}\$\,196,71 (arredondando para baixo/truncando fica 196,71; se for arredondamento padrão seria 196,71 pois o terceiro decimal é 4). Para exatidão algébrica pode-se manter 0,15(2.625,12-1.313,69) ou o valor 196,7145.

Passo 5

Construindo a expressão para renda maior que 2.625,12.
  • Para r>2.625,12 o imposto é a soma de:
    1. imposto fixo correspondente a toda a faixa intermediária (valor calculado no passo anterior), mais
    2. imposto sobre a parcela que excede 2.625,12 à alíquota de 27{,}5\%.
  • Em fórmula:
T(r)=0,15\,(2.625,12-1.313,69)+0,275\,(r-2.625,12),\quad r>2.625,12.
  • Se quiser escrever isso de forma linear simplificada, pode-se calcular a constante:
0,15\times 1.311,43 = 196,7145,
portanto
T(r)=196,7145+0,275\,(r-2.625,12),\quad r>2.625,12.
Ou expandindo:
T(r)=0,275\,r-525,1935,\quad r>2.625,12.
(esta forma tem intercepto negativo porque já incorporou a parte isenta e a parte tributada das faixas inferiores).

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia (faça na prova para checar resultados):
  • Exemplo 1: r=1.200,00. Como r\le 1.313,69, T(r)=0.
  • Exemplo 2: r=1.500,00. Cai na faixa intermediária, então
T(1.500,00)=0,15\,(1.500,00-1.313,69)=0,15\times 186,31=27,9465\approx \mathrm{R}\$\,27,95.
  • Exemplo 3: r=3.000,00. Cai na faixa superior, então
T(3.000,00)=196,7145+0,275\,(3.000,00-2.625,12)=196,7145+0,275\times 374,88
=196,7145+103,092 =299,8065\approx \mathrm{R}\$\,299,81.

Resposta

T(r)=\begin{cases} 0, & r\le 1.313,69,\\[6pt] 0,15\,(r-1.313,69), & 1.313,70\le r\le 2.625,12,\\[6pt] 0,15\,(2.625,12-1.313,69)+0,275\,(r-2.625,12), & r>2.625,12. \end{cases}]

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