O Brasil taxa em 15% a renda mensal entre
1.313,70
\mathrm{R} $2.625,12
\mathrm{R} $ 1.313,69$.
a) Determine uma função que represente o imposto pago sobre uma renda qualquer.
a) Determine uma função que represente o imposto pago sobre uma renda qualquer.
Passo 1
O enunciado dá as alíquotas e os limites de renda mensais e pede para determinar uma função que represente o imposto pago para qualquer renda mensal. Informações importantes extraídas do enunciado:
- Parcela isenta (até):
. - Faixa intermediária: renda entre
e é tributada a . - Faixa superior: renda acima de
é tributada a .
O que se pede: uma função (em função da renda mensal) que dê o valor do imposto pago.
Passo 2
Entendendo como o imposto é calculado (ideia básica e por que a função será por partes).
- A regra descrita é uma tributação marginal por faixas: a parte da renda até
não paga imposto; a parcela que está na faixa seguinte paga apenas sobre essa parcela; e a parcela que excede paga apenas sobre o que ultrapassar esse limite. - Por isso a função será uma função por partes (piecewise): para rendas pequenas imposto zero; para rendas médias imposto igual a
multiplicado pela parcela que excede ; para rendas maiores soma-se o imposto fixo já devido pela faixa intermediária mais sobre o que exceder .
Passo 3
Definindo variável e escrevendo a expressão para a faixa isenta e para a faixa intermediária.
- Seja
a renda mensal (em reais). - Se
então nenhuma parcela é tributável, logo o imposto é zero:
- Se
só a parcela acima de é tributada a . Assim:
Explicação: subtrai-se
porque essa parte é isenta; multiplica-se por
(ou
) porque só essa parcela paga 15%.
Passo 4
Calculando o imposto correspondente ao máximo da faixa intermediária (para usar na expressão da faixa superior).
- A parcela total dentro da faixa intermediária é
- O imposto sobre essa parcela, à taxa de
, vale
- Em dinheiro normalmente arredonda-se para centavos:
(arredondando para baixo/truncando fica ; se for arredondamento padrão seria pois o terceiro decimal é 4). Para exatidão algébrica pode-se manter ou o valor .
Passo 5
Construindo a expressão para renda maior que
.
- Para
o imposto é a soma de: - imposto fixo correspondente a toda a faixa intermediária (valor calculado no passo anterior), mais
- imposto sobre a parcela que excede
à alíquota de .
- Em fórmula:
- Se quiser escrever isso de forma linear simplificada, pode-se calcular a constante:
portanto
Ou expandindo:
(esta forma tem intercepto negativo porque já incorporou a parte isenta e a parte tributada das faixas inferiores).
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia (faça na prova para checar resultados):
- Exemplo 1:
. Como , . - Exemplo 2:
. Cai na faixa intermediária, então
- Exemplo 3:
. Cai na faixa superior, então