Um brinquedo comum em parques de diversões é o “bicho-da-seda”, que consiste em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada um deles acompanhado de uma criança, e que, em cada banco do carro, devam acomodar-se uma criança e o seu responsável. De quantos modos podem as dez pessoas ocupar os cinco bancos?
a) 14 400
b) 3 840
c) 1 680
d) 240
e) 120

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e o que a gente vai precisar para resolver isso. A gente tem um brinquedo chamado “bicho-da-seda” com cinco bancos, e cada banco pode acomodar duas pessoas: uma criança e seu adulto responsável. Temos cinco adultos e cinco crianças, totalizando dez pessoas. A pergunta é: de quantos jeitos essas dez pessoas podem sentar nos cinco bancos, seguindo a regra de que cada banco tem uma criança e o seu responsável? Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutações e arranjos, que são partes da matemática que estudam como organizar elementos em diferentes posições.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como distribuir as cinco famílias (cada família é composta por um adulto e uma criança) nos cinco bancos. Isso é como atribuir cada família a um banco específico. Para isso, usamos a fatorial, que é representada por 5! e significa 5 multiplicado por 4, por 3, e assim por diante até 1. Então:
5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120
Isso quer dizer que há 120 maneiras de distribuir as cinco famílias nos cinco bancos.

Passo 3

Agora, dentro de cada banco, temos duas pessoas: o adulto e a criança. A gente precisa considerar de quantas maneiras essas duas pessoas podem se sentar juntas. Para cada família em um banco, o adulto pode sentar à esquerda e a criança à direita, ou o contrário. Isso dá 2 possibilidades por banco. Como temos 5 bancos, e cada um tem 2 opções, usamos 2^5:
2^5 = 2 times 2 times 2 times 2 times 2 = 32
Então, para todas as cinco famílias juntas, há 32 maneiras diferentes de organizar quem fica onde em cada banco.

Passo 4

Finalmente, para encontrar o número total de maneiras de organizar todas as pessoas nos bancos, multiplicamos as duas quantidades que calculamos:
120 times 32 = 3840

Resposta

A quantidade de modos que as dez pessoas podem ocupar os cinco bancos é 3 840.

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