Dada uma região multidimensional, se calcularmos a integral múltipla correspondente da função densidade, podemos identificar a massa associada e, empregando esse resultado em conjunto com outras integrais, podemos ainda identificar o centro de massa da região. Nesse contexto, considere o sólido S delimitado superiormente pelo plano de equação x + 2y – 2z + 20 = 0, inferiormente pelo plano coordenado xy, em que z = 0, e limitado na região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. Qual é a massa desse sólido S, sabendo que a função densidade associada é ρ(x,y,z) = x?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a massa de um sólido $ S $ que está delimitado por certos planos e restrições nas coordenadas $ x $ e $ y $. A função densidade é dada por $ \rho(x,y,z) = x $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral múltipla, especificamente a integral tripla, que nos ajuda a calcular volumes e massas em regiões tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração para cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $. O sólido $ S $ está limitado por:
- $ 0 \leq x \leq 1 $
- $ 0 \leq y \leq 2 $
- A parte superior é dada pelo plano $ x + 2y - 2z + 20 = 0 $
- A parte inferior é o plano $ z = 0 $ (plano coordenado $ xy $)
Vamos resolver a equação do plano superior para $ z $:
Então, para cada $ x $ e $ y $, $ z $ varia de 0 até $ \frac{x + 2y + 20}{2} $.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular a massa $ M $ do sólido $ S $. A massa é dada pela integral da densidade sobre o volume:
Substituindo a função densidade $ \rho(x,y,z) = x $, temos:
Expressando em termos de integrais iteradas, com $ z $ variando de 0 a $ \frac{x + 2y + 20}{2} $, $ y $ de 0 a 2 e $ x $ de 0 a 1:
Passo 4
Vamos resolver a integral em $ z $ primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral passa a ser:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral em $ y $:
Substituindo os limites:
Então, a integral agora é:
Passo 7
Finalmente, resolvemos a integral em $ x $:
Resposta
A massa do sólido $ S $ é $ \frac{34}{3} $ unidades de massa.