Dada uma região multidimensional, se calcularmos a integral múltipla correspondente da função densidade, podemos identificar a massa associada e, empregando esse resultado em conjunto com outras integrais, podemos ainda identificar o centro de massa da região. Nesse contexto, considere o sólido S delimitado superiormente pelo plano de equação x + 2y – 2z + 20 = 0, inferiormente pelo plano coordenado xy, em que z = 0, e limitado na região em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 2. Qual é a massa desse sólido S, sabendo que a função densidade associada é ρ(x,y,z) = x?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a massa de um sólido $ S $ que está delimitado por certos planos e restrições nas coordenadas $ x $ e $ y $. A função densidade é dada por $ \rho(x,y,z) = x $. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integral múltipla, especificamente a integral tripla, que nos ajuda a calcular volumes e massas em regiões tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração para cada uma das variáveis $ x $, $ y $ e $ z $. O sólido $ S $ está limitado por:
  • $ 0 \leq x \leq 1 $
  • $ 0 \leq y \leq 2 $
  • A parte superior é dada pelo plano $ x + 2y - 2z + 20 = 0 $
  • A parte inferior é o plano $ z = 0 $ (plano coordenado $ xy $)
Vamos resolver a equação do plano superior para $ z $:
x
Então, para cada $ x $ e $ y $, $ z $ varia de 0 até $ \frac{x + 2y + 20}{2} $.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular a massa $ M $ do sólido $ S $. A massa é dada pela integral da densidade sobre o volume:
M
Substituindo a função densidade $ \rho(x,y,z) = x $, temos:
S
Expressando em termos de integrais iteradas, com $ z $ variando de 0 a $ \frac{x + 2y + 20}{2} $, $ y $ de 0 a 2 e $ x $ de 0 a 1:
M = integral triplaS rho(x,y,z) , dV

Passo 4

Vamos resolver a integral em $ z $ primeiro:
z
Agora, a integral fica:
integral0^x + 2y + 202 x , dz = x [ z ]0^x + 2y + 202 = x ( x + 2y + 202 - 0 ) = x(x + 2y + 20)2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x(x + 2y + 20)2 = x^2 + 2xy + 20x2 = x^22 + xy + 10x
Então, a integral passa a ser:
M = integral0^1 integral0^2 ( x^22 + xy + 10x ) , dy , dx

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em $ y $:
y
Substituindo os limites:
integral0^2 ( x^22 + xy + 10x ) , dy = x^22 cdot y + x y^22 + 10x y gr|0^2
Então, a integral agora é:
= x^22 cdot 2 + x cdot 42 + 10x cdot 2 - (0 + 0 + 0) = x^2 + 2x + 20x = x^2 + 22x

Passo 7

Finalmente, resolvemos a integral em $ x $:
x

Resposta

A massa do sólido $ S $ é $ \frac{34}{3} $ unidades de massa.

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