Integrar funções de uma variável nem sempre é resolvido de forma imediata, assim faz-se necessário o uso de técnicas que facilite o processo de integração. Com base nessas técnicas de integração, calcule a integral a seguir
S xsen(x) dx Assinale a alternativa que contém o resultado correto dessa integral.
S xsen(x) dx Assinale a alternativa que contém o resultado correto dessa integral.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de $ x \cdot \sin(x) , dx $. Isso faz parte da matéria de técnicas de integração, especificamente usando integração por partes. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e identificar quais partes da nossa função serão $ u $ e $ dv $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é:
Essa fórmula é útil quando temos que integrar o produto de duas funções, como é o caso aqui.
Passo 3
Agora, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão $ u $ e $ dv $. Geralmente, a gente escolhe $ u $ como a parte que fica mais simples ao derivar. Então, vamos escolher:
Passo 4
Vamos calcular $ du $ e $ v $:
(Lembre que a integral de $ \sin(x) $ é $ -\cos(x) $)
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos resolver a última integral:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Resposta
A integral de $ x \cdot \sin(x) , dx $ é: