Integrar funções de uma variável nem sempre é resolvido de forma imediata, assim faz-se necessário o uso de técnicas que facilite o processo de integração. Com base nessas técnicas de integração, calcule a integral a seguir
S xsen(x) dx Assinale a alternativa que contém o resultado correto dessa integral.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de $ x \cdot \sin(x) , dx $. Isso faz parte da matéria de técnicas de integração, especificamente usando integração por partes. Pra resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e identificar quais partes da nossa função serão $ u $ e $ dv $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Essa fórmula é útil quando temos que integrar o produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 3

Agora, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão $ u $ e $ dv $. Geralmente, a gente escolhe $ u $ como a parte que fica mais simples ao derivar. Então, vamos escolher:
u

Passo 4

Vamos calcular $ du $ e $ v $:
du
v
(Lembre que a integral de $ \sin(x) $ é $ -\cos(x) $)

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x cdot sin(x) , dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo os valores que encontramos:
= x cdot (-cos(x)) - integral (-cos(x)) cdot dx
= -x cos(x) + integral cos(x) , dx

Passo 6

Vamos resolver a última integral:
integral cos(x) , dx = sin(x) + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Juntando tudo, temos:
integral x cdot sin(x) , dx = -x cos(x) + sin(x) + C

Resposta

A integral de $ x \cdot \sin(x) , dx $ é:
x cdot sin(x) , dx

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