Uma companhia realiza inspeção em carregamentos de fornecedores, de modo a determinar produtos não conformes. Considere que um lote contenha 1000 itens, sendo 1% dos produtos não conformes. Qual é o tamanho necessário da amostra, de modo que a probabilidade de escolher, no mínimo, um item não conforme na amostra, seja no mínimo 0,90?
A) 200
B) 212
C) 220
D) 229
E) 241
A) 200
B) 212
C) 220
D) 229
E) 241
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pergunta sobre inspeção de produtos em um lote de 1000 itens, onde 1% são não conformes. A gente precisa descobrir qual o tamanho mínimo da amostra que garante pelo menos 90% de chance de encontrar pelo menos um produto não conforme. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente da distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter 1% dos produtos não conformes. Isso quer dizer que, de 1000 itens, 10 são defeituosos. A probabilidade de um item ser defeituoso é de 0,01.
Passo 3
Queremos calcular a probabilidade de encontrar pelo menos um item defeituoso na amostra. Para facilitar, vamos calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de nenhum item da amostra ser defeituoso, e depois subtrair esse valor de 1.
Passo 4
A probabilidade de um item não ser defeituoso é de 0,99 (já que 1 - 0,01 = 0,99). Se pegarmos uma amostra de tamanho $ n $, a probabilidade de todos os itens serem não defeituosos é $ (0,99)^n $.
Passo 5
Queremos que a probabilidade de pelo menos um defeituoso seja de pelo menos 90%, ou seja:
Passo 6
Vamos isolar $ (0,99)^n $:
Passo 7
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ n $:
Passo 8
Isolando $ n $:
Calculando os valores:
Resposta
A resposta correta é D) 229.