Uma companhia realiza inspeção em carregamentos de fornecedores, de modo a determinar produtos não conformes. Considere que um lote contenha 1000 itens, sendo 1% dos produtos não conformes. Qual é o tamanho necessário da amostra, de modo que a probabilidade de escolher, no mínimo, um item não conforme na amostra, seja no mínimo 0,90?
A) 200
B) 212
C) 220
D) 229
E) 241

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pergunta sobre inspeção de produtos em um lote de 1000 itens, onde 1% são não conformes. A gente precisa descobrir qual o tamanho mínimo da amostra que garante pelo menos 90% de chance de encontrar pelo menos um produto não conforme. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente da distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter 1% dos produtos não conformes. Isso quer dizer que, de 1000 itens, 10 são defeituosos. A probabilidade de um item ser defeituoso é de 0,01.

Passo 3

Queremos calcular a probabilidade de encontrar pelo menos um item defeituoso na amostra. Para facilitar, vamos calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de nenhum item da amostra ser defeituoso, e depois subtrair esse valor de 1.

Passo 4

A probabilidade de um item não ser defeituoso é de 0,99 (já que 1 - 0,01 = 0,99). Se pegarmos uma amostra de tamanho $ n $, a probabilidade de todos os itens serem não defeituosos é $ (0,99)^n $.

Passo 5

Queremos que a probabilidade de pelo menos um defeituoso seja de pelo menos 90%, ou seja:
1 - (0,99)^n >= 0,90

Passo 6

Vamos isolar $ (0,99)^n $:
(0,99)^n

Passo 7

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ n $:
n
ln((0,99)^n) <= ln(0,10)

Passo 8

Isolando $ n $:
n
Calculando os valores:
n >= ln(0,10)ln(0,99)
ln(0,10) approx -2,3025
ln(0,99) approx -0,01005

Resposta

A resposta correta é D) 229.

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