Um bulbo de vidro, onde se fez vácuo, pesa 37,9365 g. Enchendo-o com ar seco, a 1 atm e 25^circ C, seu peso é de 38,0739 g. Com uma mistura de metano e etano ele pesa 38,0347 g. Calcular a percentagem de metano e etano na mistura gasosa.
Dados: da r(25^circ C, 760 torr )=1,185 g dm^-3 ; Mmet=16 g mol^-1 ; Met=30 g mol^-1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo e quais conceitos vamos usar.
Resumo do Enunciado:
Temos um bulbo de vidro que inicialmente com vácuo pesa 37,9365 g. Quando enchemos com ar seco a 1 atm e 25°C, o peso aumenta para 38,0739 g. Depois, ao encher com uma mistura de metano e etano, o peso fica 38,0347 g. A gente precisa descobrir qual a porcentagem de metano e etano nessa mistura.
Conteúdo da Matéria:
Vamos utilizar conceitos de Densidade, Massa Molar e Proporções em Misturas Gasosas. Precisaremos entender como a massa total da mistura está relacionada com as massas dos componentes individuais.
O que vamos precisar:
  • Fórmulas para calcular a quantidade de massa adicionada.
  • Relação entre a densidade do ar e a massa do ar adicionada.
  • Cálculo de proporções usando massas molares de metano e etano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa de ar que foi adicionada ao bulbo de vidro.
Massa inicial com vácuo: 37,9365 g
Massa com ar seco: 38,0739 g
Então, a massa de ar adicionada é:
Massa do ar = 38,0739, g - 37,9365, g = 0,1374, g

Passo 3

Sabemos que a densidade do ar seco nas condições dadas é 1,185, g dm^-3. Essa informação nos ajuda a confirmar a quantidade de ar adicionada, mas como já temos a massa, vamos focar na mistura de metano e etano.
Massa com mistura de metano e etano: 38,0347 g
Massa com ar seco: 38,0739 g
Portanto, a massa adicionada pela mistura é:
Massa da mistura = 38,0347, g - 37,9365, g = 0,0982, g

Passo 4

Agora, vamos chamar:
  • $ x $ = quantidade de metano na mistura (em gramas)
  • $ y $ = quantidade de etano na mistura (em gramas)
Sabemos que:
x
Também sabemos as massas molares:
  • Metano ( y ): $ M_{met} = 16, g/mol $
  • Etano ( x + y = 0,0982, g ): $ M_{et} = 30, g/mol $

Passo 5

Para relacionar as quantidades, precisamos considerar o número de mols de cada gás.
Número de mols de metano:
nmet = x16
Número de mols de etano:
net = y30
A pressão e a temperatura são as mesmas para ambos os gases, então o volume ocupado por cada mol é o mesmo. Isso nos permite relacionar as quantidades de mols diretamente.

Passo 6

Como a mistura está na mesma condição de pressão e temperatura, podemos usar a relação das massas e das massas molares para encontrar as proporções:
x16 + y30 = constante
Mas precisamos de mais uma equação. Lembrando que:
x + y = 0,0982, g
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 7

Primeiro, expressamos $ y $ em função de $ x $:
y
Substituímos na equação dos mols:
x
Precisamos de uma constante específica, mas como a pressão e temperatura são iguais, a constante cancela na proporção, permitindo resolver diretamente para $ x $ e $ y $.

Passo 8

Multiplicamos toda a equação por 240 (o mínimo múltiplo comum de 16 e 30) para eliminar os denominadores:
15x + 8(0,0982 - x) = 0
Simplificando:
15x + 0,7856 - 8x = 0
7x = -0,7856
x = -0,78567 approx -0,1122, g
Aqui percebemos um erro, já que a massa não pode ser negativa. Vamos revisar os passos anteriores para identificar onde erramos.

Passo 9

Na verdade, precisamos considerar que a mistura de gases ocupa o mesmo volume que o ar. Portanto, a massa total da mistura pode ser relacionada à massa do ar através das suas massas molares e abundâncias.
Reavaliando, vamos assumir que a quantidade de mols de ar é equivalente à quantidade de mols da mistura:
0,1374, g1,185, g/dm^3 = Volume do bulbo
Esse volume será o mesmo para a mistura de metano e etano. Assim, podemos relacionar as massas pelos volumes.

Passo 10

Vamos calcular o volume do bulbo usando a massa do ar e sua densidade:
V = Massa do ardar = 0,1374, g1,185, g/dm^3 approx 0,1158, dm^3
Esse é o volume do bulbo. Agora, vamos usar o mesmo volume para a mistura de metano e etano.

Passo 11

Sabendo que a massa da mistura é 0,0982 g e o volume é 0,1158 dm³, podemos calcular a densidade da mistura:
dmistura = 0,0982, g0,1158, dm^3 approx 0,847, g/dm^3

Passo 12

Agora, vamos relacionar a densidade da mistura com as densidades dos componentes. A densidade da mistura é a média ponderada das densidades dos gases, baseada nas frações molares.
Seja $ f_{met} $ a fração molar de metano e $ f_{et} $ a fração molar de etano. Sabemos que:
fmet
A densidade da mistura é:
fet
Onde $ d_{met} $ e $ d_{et} $ são as densidades do metano e etano, respectivamente.

Passo 13

Calculamos as densidades individuais dos gases usando a relação:
d = MVm
Onde $ M $ é a massa molar e $ V_m $ é o volume molar (22,4 L/mol a CNTP, mas como estamos a 25°C, vamos considerar que $ V_m \approx 24, dm^3/mol $).
Então:
M
Vm

Passo 14

Substituindo na equação da densidade da mistura:
0,847 = fmet cdot 0,6667 + (1 - fmet) cdot 1,25
Vamos resolver para $ f_{met} $:
fmet
0,847 = 0,6667 fmet + 1,25 - 1,25 fmet
0,847 - 1,25 = (0,6667 - 1,25) fmet
-0,403 = -0,5833 fmet
Então, a fração molar de metano é aproximadamente 69%, e a de etano é 31%.

Resposta

A mistura gasosa contém aproximadamente 69% de metano e 31% de etano.

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