Buscando

a) Determine a solução do PVI
b) Qual o intervalo de validade da solução?

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
l[x^2-3r],y' + x,y = 2, y(2)=0,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos reescrevê-la na forma padrão
y' + p(x),y = q(x),
identificar o fator integrante e aplicar o método de solução de equações lineares.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x^2-3, obtemos a forma padrão:
y' + xx^2-3,y = 2x^2-3
Aqui p(x)=xx^2-3 e q(x)=2x^2-3. O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral p(x),dxr) = exp!l(integral xx^2-3,dxr)

Passo 3

Calculando o integral,
integral xx^2-3,dx = 12 lnl|x^2-3r|,
então
mu(x) = exp!l(tfrac12ln|x^2-3|r) = raizl|x^2-3r|
Como a condição inicial está em x=2 e 2^2-3=1>0, escolhemos o ramo positivo:
mu(x)=raizx^2-3
Multiplicando a equação padrão por mu(x)
ddxl(y,raizx^2-3r) = 2,raizx^2-3x^2-3 = 2raizx^2-3

Passo 4

Integramos ambos os lados:
y,raizx^2-3 = integral 2raizx^2-3,dx + C = 2 integral dxraizx^2-3 + C = 2 lnl|x + raizx^2-3r| + C
Logo
y(x) = 2lnl|x + raizx^2-3r| + Craizx^2-3

Passo 5

Aplicando y(2)=0: como raiz2^2-3=1,
0 = 2ln(2+1) + C1 = 2ln3 + C Longrightarrow C = -2ln3
Portanto
y(x) = 2lnl|x + raizx^2-3r| - 2ln3raizx^2-3 = 2ln!l(x + raizx^2-33r)raizx^2-3

Passo 6

A equação é singular em x^2-3=0, ou seja x=pmraiz3. Como a condição inicial está em x=2>raiz3, o intervalo de validade que contém 2 é
(raiz3,,infty)

Resposta

a) y(x) = 2raizx^2-3;ln!l(x + raizx^2-33r)
b) Intervalo de validade: ,(,raiz3,,infty).

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