Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral ln (cos (x)) sen(x) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral lnl(cos(x)r),sen(x),dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois temos uma função composta cuja derivada (até sinal) aparece multiplicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = cos(x), du = -sen(x),dx Longrightarrow sen(x),dx = -du
Substituindo na integral original, obtemos
integral lnl(cos(x)r),sen(x),dx = -integral ln(u),du

Passo 3

Agora precisamos calcular integral ln(u),du. Esse é um integral padrão, cujo resultado por partes é
integral ln(u),du = u,ln(u) - u + C
Logo,
-integral ln(u),du = -l(u,ln(u) - ur) + C = -u,ln(u) + u + C

Passo 4

Voltando à variável x pela relação u=cos(x), concluímos que
integral lnl(cos(x)r),sen(x),dx = -cos(x),lnl(cos(x)r) + cos(x) + C

Resposta

-cos(x)lnl(cos(x)r) + cos(x) + C

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