Resolva o problema de valor inicial:
x y^prime+2 y=x^2-x+1; y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x,y' + 2y = x^2 - x + 1,
com a condição y(1)=0.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem, que vamos resolver usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo tudo por x (supondo xneq0):
y' + 2x,y = x - 1 + 1x
Aqui P(x)=tfrac2x e Q(x)=x-1+tfrac1x.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = exp(2ln|x|) = x^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x^2 obtemos
x^2y' + 2x,y = x^2l(x - 1 + tfrac1xr) = x^3 - x^2 + x,
e o lado esquerdo é exatamente tfracddx(x^2y).

Passo 5

Integramos ambos os lados:
x^2y = integrall(x^3 - x^2 + xr),dx = x^44 - x^33 + x^22 + C
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y = 1x^2l(x^44 - x^33 + x^22 + Cr) = x^24 - x3 + 12 + C,x^-2

Passo 6

Impondo y(1)=0, temos
14 - 13 + 12 + C = 0 Longrightarrow 34 - 13 + C = 0 Longrightarrow 512 + C = 0 Longrightarrow C = -512

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = x^24 - x3 + 12 - 512,x^2

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