Dado o PVI

é linear?

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
x' + sin^2 y = 0, y'(0)=y,
e pede para verificarmos se se trata de uma equação (ou sistema) linear. O conteúdo aqui é a classificação de EDOs segundo aparecimento das incógnitas e suas derivadas.

Passo 2

Lembremos que uma EDO de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma
a1(t),x'(t) + a0(t),x(t) = g(t),
onde a1, a0 e g dependem só de t, e x e x' aparecem com grau 1, sem compor funções não lineares (como produtos entre incógnitas ou funções como seno, exponencial etc.).

Passo 3

Na equação
x' + sin^2 y = 0
o termo sin^2 y é uma função não linear de y. Mesmo que a derivada envolvida seja de x, a presença de sin^2 y impede escrever o lado direito apenas em função de t ou linearmente em x. Portanto não cabe na forma linear clássica.

Resposta

Não, o PVI não é linear, pois há o termo não linear sin^2 y.

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