Se A C=C B, explique por que A e B são ambas quadradas.

Passo 1

O enunciado diz que existe uma matriz C tal que
A,C ;=; C,B
Queremos mostrar que, por essa igualdade de produtos existir, as matrizes A e B devem ser quadradas, isto é, ter o mesmo número de linhas e colunas.

Passo 2

Suponha que A seja de tamanho mtimes n e que C seja de tamanho ntimes p. Então o produto A,C está bem definido e tem tamanho mtimes p. Para que C,B também esteja bem definido, B deve ser de tamanho ptimes q, e aí C,B tem tamanho ntimes q.

Passo 3

Como a igualdade
A,C ;=; C,B
significa que as duas matrizes têm as mesmas dimensões, devemos ter
mtimes p ;=; ntimes q
em termos de “linhas times colunas”. Para isso acontecer é necessário que
m = n e p = q

Passo 4

Da igualdade m = n concluímos que A é de tamanho mtimes m, ou seja, é uma matriz quadrada. E de p = q concluímos que B é de tamanho ptimes p, também quadrada.

Resposta

A e B são ambas matrizes quadradas porque a igualdade A,C = C,B só pode ocorrer se as dimensões de A,C e de C,B coincidirem, o que força A e B a terem número igual de linhas e colunas.

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