Seja T: P3(R) P2(R) a transformação linear cuja matriz em relação às bases 1, x+1, x^2+x, x^3-1 e 2, x-1, x^2+1 é [cccc1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 2 & 1]. O núcleo de T é gerado por
(A) 3 x^3+3 x^2-x+2
(B) 2 x^3-3 x^2+2 x+2
(C) 3 x^3+x^2-2 x+1
(D) 3 x^3+2 x^2-x+1
(E) 2 x^3-x^2+2 x+4

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear

cuja matriz na base do domínio

e na base do contradomínio

é
Queremos determinar
,
isto é, todos os vetores de coordenadas tais que

Passo 2

Escrevemos o sistema A,(a,b,c,d)^T=0. Isso dá as três equações:
a - b = 0, b + c - d = 0, -,a + b + 2c + d = 0

Passo 3

Da primeira equação segue a=b.
Da segunda segue d=b+c.
Substituindo a=b e d=b+c na terceira:
-,b + b + 2c + (b+c)=0 Longrightarrow b + 3c = 0 Longrightarrow b = -3c
Logo
a = b = -3c, d = b + c = -3c + c = -2c
Assim o vetor de coordenadas é
,(a,b,c,d)=c,(-3,-3,1,-2),
o que mostra que ker T é gerado por esse vetor.

Passo 4

Para encontrar o polinômio gerador do núcleo, combinamos este vetor com a base do domínio:
p(x) = -3cdot1 ;+;-3,(x+1);+;1,(x^2+x);-;2,(x^3-1)

Passo 5

Agora simplificamos p(x):
p(x) = -3 -3(x+1) + x^2 + x -2x^3 + 2 = -2x^3 + x^2 -2x -4
Multiplicando por -1 para ter coeficiente líder positivo, obtemos
2x^3 - x^2 + 2x + 4,
que é a forma mais agradável para gerar ker T.

Resposta

(E) 2x^3-x^2+2x+4

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