Seja a transformação linear cuja matriz em relação às bases e é . O núcleo de T é gerado por
(A) 3 x^3+3 x^2-x+2
(B) 2 x^3-3 x^2+2 x+2
(C) 3 x^3+x^2-2 x+1
(D) 3 x^3+2 x^2-x+1
(E) 2 x^3-x^2+2 x+4
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
cuja matriz na base do domínio
e na base do contradomínio
é
Queremos determinar ,
isto é, todos os vetores de coordenadas tais que
Passo 2
Escrevemos o sistema A,(a,b,c,d)^T=0. Isso dá as três equações:
a - b = 0, b + c - d = 0, -,a + b + 2c + d = 0
Passo 3
Da primeira equação segue a=b.
Da segunda segue d=b+c.
Substituindo a=b e d=b+c na terceira:
-,b + b + 2c + (b+c)=0 Longrightarrow b + 3c = 0 Longrightarrow b = -3c
Logo
a = b = -3c, d = b + c = -3c + c = -2c
Assim o vetor de coordenadas é ,(a,b,c,d)=c,(-3,-3,1,-2),
o que mostra que ker T é gerado por esse vetor.
Passo 4
Para encontrar o polinômio gerador do núcleo, combinamos este vetor com a base do domínio: