Seja T: P2(R) R^3 a transformação linear definida por T(p)=(p(0), p^prime(1), p^prime prime(2)), para todo p in P2(R). Seja B uma base de P2(R) tal que a matriz da transformação linear T em relação à base B e à base canônica de R^3 seja [lll1 & 2 & 0 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2]. A soma dos elementos de B é
(A) 2 x^2-3
(B) x^2-2 x+2
(C) x^2+3
(D) -x^2+2 x+2
(E) 2 x^2-2 x+3

Passo 1

O enunciado define T: P2( R)to R^3 por
T(p)=l(p(0),,p'(1),,p''(2)r)
e diz que, em relação a uma base B=b1,b2,b3 de P2( R) e à base canônica de R^3, a matriz de T é
1 & 2 & 0 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2
Como cada coluna j dessa matriz é T(bj) escrito nas coordenadas canônicas, basta achar bj(x)=ajx^2 + bjx + cj resolvendo
T(bj)=(bj(0),,bj'(1),,bj''(2))=coluna j,
e depois somar b1+b2+b3.

Passo 2

Para b1 a coluna é (1,1,0). Seja b1(x)=a1x^2 + b1x + c1.
1. b1(0)=c1=1.
2. b1''(2)=2a1=0; Rightarrow a1=0.
3. b1'(x)=2a1x+b1= b1, logo b1'(1)=b1=1.
Portanto b1(x)=0cdot x^2 +1cdot x +1 = x+1.

Passo 3

Para b2 a coluna é (2,0,0). Seja b2(x)=a2x^2 + b2x + c2.
1. b2(0)=c2=2.
2. b2''(2)=2a2=0; Rightarrow a2=0.
3. b2'(1)=2a2 + b2 = b2 =0.
Logo b2(x)=0cdot x^2 +0cdot x +2 = 2.

Passo 4

Para b3 a coluna é (0,1,2). Seja b3(x)=a3x^2 + b3x + c3.
1. b3(0)=c3=0.
2. b3''(2)=2a3=2; Rightarrow a3=1.
3. b3'(1)=2a3 + b3 = 2 + b3 =1; Rightarrow b3=-1.
Portanto b3(x)=1cdot x^2 -1cdot x +0 = x^2 - x.

Passo 5

Somando os polinômios:
b1(x) + b2(x) + b3(x) = (x+1) + 2 + (x^2 - x) = x^2 + (x - x) + (1+2) = x^2 + 3

Resposta

x^2 + 3 (alternativa C)

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