Seja T: R^2 R^2 o operador linear cuja matriz em relação à base B=(-1,1),(0,1) de R^2 é [cr1 & 0 -3 & 1]. Considere as seguintes afirmações:
I. T(x, y)=(x, 3 x+y), para todos x, y in R.
II. A imagem pela transformação T da parábola (x, y) in R^2: y=x^2 é a parábola (x, y) in R^2 : y=x^2-2 x.
III. O vetor (2,3) pertence à imagem de T.
Assinale a alternativa correta.
(A) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
(B) Apenas a afirmação I é verdadeira.
(C) Todas as afirmações são verdadeiras.
(D) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
(E) Todas as afirmações são falsas.

Passo 1

O enunciado define TcolonR^2toR^2 cujo matriz relativa à base
B=b1,b2=(-1,1),(0,1)
é
[M]B = 1 & 0 -3 & 1
Queremos (I) achar a fórmula de T em coordenadas usuais, (II) ver a imagem da parábola y=x^2 e (III) verificar se (2,3) está no alcance de T.

Passo 2

Seja P a matriz cujas colunas são b1 e b2 em coordenadas padrão:
P = -1 & 0 1 & 1
Então a matriz de T em base canônica é
A = P,[M]B,P^-1
Calculamos
P,[M]B =-1 & 0 1 & 1 1 & 0 -3 & 1 =-1 & 0 -2 & 1,
P^-1=1det P1 & 0 -1 & -1 =-11 & 0 -1 & -1 =-1 & 0 1 & 1,
A=-1 & 0 -2 & 1 -1 & 0 1 & 1 =1 & 0 3 & 1
Logo, em coordenadas usuais
T(x,y) = l(x,;3x+yr),
o que mostra que a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

A imagem da parábola (x,y):y=x^2 é
Tl(x,x^2r) = l(x,;3x + x^2r)
Isso descreve a parábola (X,Y):Y = X^2 + 3X, não ,Y = X^2 - 2X. Portanto a afirmação II é falsa.

Passo 4

Como det A = 1neq0, T é sobrejetora e, em particular, todo vetor de R^2 está na imagem. Assim (2,3) pertence ao alcance de T, e a afirmação III é verdadeira.

Resposta

(A) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

Exercícios relacionados