Seja o operador linear cuja matriz em relação à base de é . Considere as seguintes afirmações:
I. T(x, y)=(x, 3 x+y), para todos x, y in R.
II. A imagem pela transformação T da parábola (x, y) in R^2: y=x^2 é a parábola (x, y) in R^2 : y=x^2-2 x.
III. O vetor (2,3) pertence à imagem de T.
Assinale a alternativa correta.
(A) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
(B) Apenas a afirmação I é verdadeira.
(C) Todas as afirmações são verdadeiras.
(D) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
(E) Todas as afirmações são falsas.
Passo 1
O enunciado define TcolonR^2toR^2 cujo matriz relativa à base
B=b1,b2=(-1,1),(0,1)
é
[M]B = 1 & 0 -3 & 1
Queremos (I) achar a fórmula de T em coordenadas usuais, (II) ver a imagem da parábola y=x^2 e (III) verificar se (2,3) está no alcance de T.
Passo 2
Seja P a matriz cujas colunas são b1 e b2 em coordenadas padrão:
Isso descreve a parábola (X,Y):Y = X^2 + 3X, não ,Y = X^2 - 2X. Portanto a afirmação II é falsa.
Passo 4
Como det A = 1neq0, T é sobrejetora e, em particular, todo vetor de R^2 está na imagem. Assim (2,3) pertence ao alcance de T, e a afirmação III é verdadeira.