(c) Calcule a área da parte do plano
sobre a região
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de áreas sobre uma região plana. O enunciado pede para calcular a área da parte do plano
sobre a região onde
,
e
. Para isso, vamos utilizar o conceito de integração dupla, que nos ajuda a encontrar áreas e volumes em regiões bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual queremos calcular a área. As condições
e
nos dizem que estamos trabalhando no primeiro quadrante do plano
. Além disso,
define uma linha reta que intercepta os eixos
e
em 1. Essa região é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Para calcular a área da superfície
sobre esse triângulo, vamos utilizar a fórmula da área de uma superfície parametrizada. A fórmula geral para a área
de uma superfície
é:
No nosso caso,
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 5
Como
é uma constante, podemos simplificar a integral:
A integral
representa a área da região
, que é o triângulo com base 1 e altura 1. A área desse triângulo é:
Passo 6
Agora, substituímos a área do triângulo na expressão da área da superfície:
Resposta
A área da parte do plano
sobre a região dada é
.