(c) Calcule a área da parte do plano z=1-x-y sobre a região x >= 0, y >= 0 e x+y <= 1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de áreas sobre uma região plana. O enunciado pede para calcular a área da parte do plano z = 1 - x - y sobre a região onde x >= 0 , y >= 0 e x + y <= 1 . Para isso, vamos utilizar o conceito de integração dupla, que nos ajuda a encontrar áreas e volumes em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual queremos calcular a área. As condições x >= 0 e y >= 0 nos dizem que estamos trabalhando no primeiro quadrante do plano xy . Além disso, x + y <= 1 define uma linha reta que intercepta os eixos x e y em 1. Essa região é um triângulo com vértices em (0,0) , (1,0) e (0,1) .

Passo 3

Para calcular a área da superfície z = 1 - x - y sobre esse triângulo, vamos utilizar a fórmula da área de uma superfície parametrizada. A fórmula geral para a área A de uma superfície z = f(x,y) é:
A = integral duplaR raiz(partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 + 1 , dx , dy
No nosso caso, f(x,y) = 1 - x - y .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y) :
partial fpartial x = -1 e partial fpartial y = -1
Substituindo na fórmula da área:
A = integral duplaR raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 1 , dx , dy = integral duplaR raiz1 + 1 + 1 , dx , dy = integral duplaR raiz3 , dx , dy

Passo 5

Como raiz3 é uma constante, podemos simplificar a integral:
A = raiz3 integral duplaR , dx , dy
A integral integral duplaR , dx , dy representa a área da região R , que é o triângulo com base 1 e altura 1. A área desse triângulo é:
Área do triângulo = 1 times 12 = 12 Áâ

Passo 6

Agora, substituímos a área do triângulo na expressão da área da superfície:
A = raiz3 times 12 = raiz32

Resposta

A área da parte do plano z = 1 - x - y sobre a região dada é raiz32 .

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