© Calcule integralC F cdot r, onde C é o segmento de reta de (2,2,1) ao ponto (1,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot r, onde C é o segmento de reta que vai do ponto (2,2,1) até o ponto (1,-1,2). Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integrais de linha, para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta C. Como C é uma linha reta entre (2,2,1) e (1,-1,2), podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro t que varia de 0 a 1.
A fórmula geral para parametrizar uma reta de A(x0, y0, z0) até B(x1, y1, z1) é:
r(t) = A + t(B - A)
Aplicando isso aos nossos pontos:
r(t) = (2,2,1) + t((1,-1,2) - (2,2,1)) = (2,2,1) + t(-1,-3,1)
Então, a parametrização fica:
r(t) = (2 - t,, 2 - 3t,, 1 + t), 0 <= t <= 1

Passo 3

Agora, precisamos derivar r(t) em relação a t para obter r,'(t), que será usada na integral.
Derivando cada componente:
r,'(t) = ( ddt(2 - t),, ddt(2 - 3t),, ddt(1 + t) ) = (-1, -3, 1)

Passo 4

Vamos expressar a força F na parametrização r(t). Supondo que F seja uma função vetorial de posição, ou seja, F = F(r(t)). Sem a forma específica de F, vamos supor que ela seja dada ou especificada no contexto do problema.
Para fins de ilustração, suponha que F = (Fx, Fy, Fz), onde cada componente pode ser uma função de t via r(t).

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot r,'(t):
F(r(t)) cdot r,'(t) = Fx(2 - t, 2 - 3t, 1 + t)(-1) + Fy(2 - t, 2 - 3t, 1 + t)(-3) + Fz(2 - t, 2 - 3t, 1 + t)(1)

Passo 6

Finalmente, integramos o produto escalar de t = 0 a t = 1:
integralC F cdot r = integral0^1 [ Fx(2 - t, 2 - 3t, 1 + t)(-1) + Fy(2 - t, 2 - 3t, 1 + t)(-3) + Fz(2 - t, 2 - 3t, 1 + t)(1) ] dt

Resposta

A integral integralC F cdot r é igual a:
integral0^1 [ -Fx(2 - t, 2 - 3t, 1 + t) - 3Fy(2 - t, 2 - 3t, 1 + t) + Fz(2 - t, 2 - 3t, 1 + t) ] dt
Para obter o valor numérico final, é necessário conhecer a forma específica da função F.

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