Estenda f(x) periodicamente para fora do intervalo e encontre a série de Fourier da função estendida. Qual é o limite g(x) da série?
f(x) = { 0, -pi <= x < -pi/2, 1, -pi/2 <= x < pi/2, 0, pi/2 <= x < pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida no intervalo de a e precisa estendê-la periodicamente para fora desse intervalo. Nosso objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função estendida e descobrir qual é o limite dessa série. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com periodo é dada por:
Onde os coeficientes e são calculados por:

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente :
Dado que para e , e para , a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Resolvendo a integral:

Passo 5

Para os coeficientes , temos:
Resolvendo a integral:
Isso ocorre porque é uma função par, então , e a diferença cancela.

Passo 6

Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função estendida fica:

Passo 7

Para encontrar o limite da série, observamos que a série de Fourier converge para a função original onde ela é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a série de Fourier converge para a média dos limites laterais. No nosso caso,

Resposta

A série de Fourier da função estendida é:
E o limite da série é a própria função definida por:

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