Estenda periodicamente para fora do intervalo e encontre a série de Fourier da função estendida. Qual é o limite da série?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida no intervalo de a e precisa estendê-la periodicamente para fora desse intervalo. Nosso objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função estendida e descobrir qual é o limite dessa série. Para isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com periodo é dada por:
Onde os coeficientes e são calculados por:
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente :
Dado que para e , e para , a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Resolvendo a integral:
Passo 5
Para os coeficientes , temos:
Resolvendo a integral:
Isso ocorre porque é uma função par, então , e a diferença cancela.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função estendida fica:
Passo 7
Para encontrar o limite da série, observamos que a série de Fourier converge para a função original onde ela é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a série de Fourier converge para a média dos limites laterais. No nosso caso,
Resposta
A série de Fourier da função estendida é:
E o limite da série é a própria função definida por: