Calcule a integral de superfície integral duplaS r o t F cdot d S, onde S é o elipsoide de equação x^2+y^2+2 z^2=10 e F(x, y, z)=(sin (x y)) i+e^x j-y z k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de superfície , onde é um elipsoide dado pela equação , e o campo vetorial .
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional de um campo vetorial e o teorema da divergência. A ideia é simplificar a integral utilizando propriedades dessas ferramentas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial, também conhecido como curl. O rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k , denotado por nabla times F = (-z - 0) i + (0 - 0) j + (e^x - x cos(xy)) k = -z i + 0 j + (e^x - x cos(xy)) k , mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. No nosso caso, precisamos calcular .
Vamos calcular cada componente do rotacional:
Onde .
Vamos calcular cada termo:
Substituindo na expressão do rotacional:

Passo 3

Agora, queremos calcular a integral de superfície nabla cdot (nabla times F) = 0 . Para simplificar isso, podemos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial para a integral de volume de sua divergência.
No entanto, neste caso, estamos lidando com o rotacional de integral triplaV nabla cdot (nabla times F) , dV = 0 . Uma propriedade importante é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
integral duplaS nabla times F cdot dS = 0
Isso significa que a integral de volume da divergência de também será zero:
Segundo o teorema da divergência, isso implica que:

Passo 4

Portanto, concluímos que a integral de superfície sobre o elipsoide é igual a zero. Isso ocorre por causa da propriedade matemática de que a divergência do rotacional é zero, e o teorema da divergência nos permite concluir diretamente esse resultado sem precisar calcular a integral de forma explícita.

Resposta

A integral de superfície é igual a zero.

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