Calcule a integral de superfície
, onde
é o elipsoide de equação
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de superfície
, onde
é um elipsoide dado pela equação
, e o campo vetorial
.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o rotacional de um campo vetorial e o teorema da divergência. A ideia é simplificar a integral utilizando propriedades dessas ferramentas matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial, também conhecido como curl. O rotacional de
, denotado por
, mede a tendência do campo vetorial de girar em torno de um ponto. No nosso caso, precisamos calcular
.
Vamos calcular cada componente do rotacional:
Onde
.
Vamos calcular cada termo:
Substituindo na expressão do rotacional:
Passo 3
Agora, queremos calcular a integral de superfície
. Para simplificar isso, podemos usar o teorema da divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial para a integral de volume de sua divergência.
No entanto, neste caso, estamos lidando com o rotacional de
. Uma propriedade importante é que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Isso significa que a integral de volume da divergência de
também será zero:
Segundo o teorema da divergência, isso implica que:
Passo 4
Portanto, concluímos que a integral de superfície
sobre o elipsoide
é igual a zero. Isso ocorre por causa da propriedade matemática de que a divergência do rotacional é zero, e o teorema da divergência nos permite concluir diretamente esse resultado sem precisar calcular a integral de forma explícita.
Resposta
A integral de superfície
é igual a zero.