Calcule a área da superfície
.
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a área da superfície definida por
, mas só na parte onde
. Vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, especialmente a fórmula que calcula a área de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que essa superfície é uma parte do paraboloide
que está acima do círculo de raio 1 no plano
. Para achar a área, a gente vai usar a fórmula da área de uma superfície
:
Aqui,
é a região no plano
onde
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Passo 4
Para facilitar a integral, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Nessas coordenadas,
e a condição
vira
e
.
A expressão dentro da raiz fica:
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Vamos resolver primeiro a integral em
:
Fazendo a substituição
, então
ou
. Quando
,
e quando
,
.
A integral vira:
Passo 6
Agora, a gente integra em
:
Resposta
A área da superfície é
.