Calcule a área da superfície S = {(x, y, z) em R^3 : z = x^2 + y^2, x^2 + y^2 = 1}.

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a área da superfície definida por , mas só na parte onde . Vamos usar alguns conceitos de cálculo multivariável, especialmente a fórmula que calcula a área de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que essa superfície é uma parte do paraboloide que está acima do círculo de raio 1 no plano . Para achar a área, a gente vai usar a fórmula da área de uma superfície :
Aqui, é a região no plano onde .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:

Passo 4

Para facilitar a integral, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nessas coordenadas, e a condição vira e .
A expressão dentro da raiz fica:

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
Vamos resolver primeiro a integral em :
Fazendo a substituição , então ou . Quando , e quando , .
A integral vira:

Passo 6

Agora, a gente integra em :

Resposta

A área da superfície é .

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