É verdadeiro ou falso?
Se
, então a série de Fourier de
é
.
Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por . A pergunta é: a série de Fourier dessa função é igual a ? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Fourier e como ela representa funções periódicas.
Passo 2
A série de Fourier de uma função periódica é uma soma infinita de senos e cossenos que, quando combinados, reproduzem a função original. No caso de funções ímpares, como , a série de Fourier é composta apenas por termos de seno.
Passo 3
Como já é uma função senoidal básica, precisamos verificar se essa função é, de fato, uma componente da série de Fourier dela mesma. Isso significa verificar se sua própria série de Fourier se reduz a ela mesma.
Passo 4
Sabemos que funções senoidais como são funções ortogonais e já são formas básicas na construção de séries de Fourier. Portanto, ao decompor
em uma série de Fourier, apenas o termo correspondente a
será diferente de zero.
Passo 5
Assim, a série de Fourier de será simplesmente , já que não há outros termos necessários para representar a função.
Resposta
Verdadeiro. A série de Fourier de é, de fato, .