(c) Considere o operador sobre
de rotação no sentido anti-horário com ângulo
. Analice em que casos é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado define o operador de rotação
que gira cada vetor em sentido anti-horário de um ângulo
. O objetivo é estudar quando esse operador é diagonalizável, ou seja, quando existe uma base de
formada por autovetores de
. Para isso vamos:
. Escrever a matriz de
na base canônica.
. Calcular o polinômio característico e seus autovalores.
. Verificar em quais
esses autovalores são reais e geram dois autovetores linearmente independentes.
Passo 2
Na base canônica de
, a rotação de ângulo
tem matriz
O polinômio característico é
Expandindo, obtemos
]
Passo 3
Para encontrar os autovalores, resolvemos
Pela fórmula de Bhaskara,
Passo 4
Para diagonalizar sobre
precisamos de dois autovalores reais e dois autovetores reais linearmente independentes.
– Se , então
não são reais e não há autovetores em
. Logo não é diagonalizável em
.
– Se , então
para algum
. Nesse caso
– Se
– Se
é real com multiplicidade algébrica
e, como
é múltiplo da identidade, todo vetor de
é autovetor. Portanto há uma base de autovetores e
é diagonalizável.
Passo 5
Conclusão: em
, o operador de rotação
é diagonalizável se, e somente se,
isto é,
ou
.
Resposta
O operador de rotação em
é diagonalizável apenas quando
(
ou
módulo
).