(c) Considere o operador sobre R^2 de rotação no sentido anti-horário com ângulo theta. Analice em que casos é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado define o operador de rotação RthetacolonR^2toR^2 que gira cada vetor em sentido anti-horário de um ângulo theta. O objetivo é estudar quando esse operador é diagonalizável, ou seja, quando existe uma base de R^2 formada por autovetores de Rtheta. Para isso vamos:
1. Escrever a matriz de Rtheta na base canônica.
2. Calcular o polinômio característico e seus autovalores.
3. Verificar em quais theta esses autovalores são reais e geram dois autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Na base canônica de R^2, a rotação de ângulo theta tem matriz
Rtheta = cos(theta) & -sin(theta)[6pt] sin(theta) & cos(theta)
O polinômio característico é
detl(Rtheta - lambda Ir) = det cos(theta)-lambda & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta)-lambda =(cos(theta)-lambda)^2+sin^2(theta)
Expandindo, obtemos
det(Rtheta - lambda I) =lambda^2-2cos(theta),lambda+1
]

Passo 3

Para encontrar os autovalores, resolvemos
lambda^2-2cos(theta),lambda+1=0
Pela fórmula de Bhaskara,
lambda =cos(theta)pmraizcos^2(theta)-1 =cos(theta)pm i,sin(theta) =e^pm itheta

Passo 4

Para diagonalizar sobre R precisamos de dois autovalores reais e dois autovetores reais linearmente independentes.
– Se sin(theta)neq 0, então lambda = e^pm itheta não são reais e não há autovetores em R^2. Logo não é diagonalizável em R.
– Se sin(theta)=0, então theta=kpi para algum kinZ. Nesse caso
lambda=e^pm i,kpi=(-1)^k
é real com multiplicidade algébrica 2 e, como Rkpi=(-1)^kI é múltiplo da identidade, todo vetor de R^2 é autovetor. Portanto há uma base de autovetores e Rtheta é diagonalizável.

Passo 5

Conclusão: em R^2, o operador de rotação Rtheta é diagonalizável se, e somente se,
theta=kpi, kinZ,
isto é, thetaequiv 0 ou pipmod2pi.

Resposta

O operador de rotação em R^2 é diagonalizável apenas quando theta=kpi ( thetaequiv0 ou pi módulo 2pi).

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