Para as seguintes matrizes no espaço de matrize reais Mn times n(R) respectivo, ache o polinômio característico, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
A=[cc-2 & -7 1 & 2]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = -2 & -7 [6pt] 1 & 2
e pede (i) o polinômio característico de A, (ii) todos os autovalores e (iii) uma base para cada autoespaço. Vamos usar definição de polinômio característico via det(A - lambda I) e, em seguida, achar os autovetores resolvendo (A - lambda I)x=0.]

Passo 2

Formamos A - lambda I = -2-lambda & -7[3pt]1&2-lambda. Então
chiA(lambda) =detl(A-lambda Ir) =(-2-lambda)(2-lambda)-(-7)cdot1 =l(lambda^2-4r)+7 =lambda^2+3 ]

Passo 3

Os autovalores são as raízes de
lambda^2+3=0 Longrightarrow lambda = pm iraiz3

Passo 4

Para resolvemos
Da primeira linha vem
Logo um autovetor é , , e uma base do autoespaço de é
]

Passo 5

Para lambda2 = -iraiz3 repetimos o processo:
x1 = 7-2 + iraiz3,x2 = (2 + iraiz3),x2,
então tomando x2=1 obtemos o autovetor (2 + iraiz3,,1). Assim uma base do autoespaço de lambda2 é
l(2 + iraiz3,,1)r

Resposta

Polinômio característico:
chiA(lambda)=lambda^2+3
Autovalores:
lambda1 = iraiz3, lambda2 = -,iraiz3
Base do autoespaço de lambda1:
(2 - iraiz3,,1)
Base do autoespaço de lambda2:
(2 + iraiz3,,1)

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