Para as seguintes matrizes no espaço de matrize reais Mn times n(R) respectivo, ache o polinômio característico, todos os autovalores e uma base para cada autoespaço.
A=[lll1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4]

Passo 1

Resumindo, temos a matriz
A = 1 & -3 & 3 3 & -5 & 3 6 & -6 & 4
no espaço M3times3(R). O objetivo é encontrar o polinômio característico de A, seus autovalores e bases para cada autoespaço. Para isso vamos calcular det(A-lambda I), fatorar o polinômio e resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Formamos A-lambda I e calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
A - lambda I = 1-lambda & -3 & 3 3 & -5-lambda & 3 6 & -6 & 4-lambda
Expandindo,
det(A-lambda I) =(1-lambda)det-5-lambda & 3-6 & 4-lambda -(-3)det3 & 36 & 4-lambda +3det3 & -5-lambda6 & -6
Calculando cada menor e simplificando, obtemos
det(A-lambda I) =-lambda^3+12lambda+16
Multiplicando por -1 para ficar monico,
p(lambda)=lambda^3-12lambda-16

Passo 3

Para fatorar p(lambda)=lambda^3-12lambda-16, testamos raízes inteiras e verificamos que lambda=-2 satisfaz
(-2)^3-12(-2)-16=-8+24-16=0
Fazendo a divisão por (lambda+2) chega-se a
p(lambda)=(lambda+2)^2(lambda-4)
Logo os autovalores são
lambda1=-2(mu< algébrica 2), lambda2=4(mu< algébrica 1) éé

Passo 4

Autoespaço de : resolvemos , ou
Dessa primeira equação tira-se e as outras são dependentes. Logo e . Um vetor livre é
de onde uma base do autoespaço é .

Passo 5

Autoespaço de : resolvemos , ou
A única equação independente é , isto é, . Tomando parâmetros , , temos
Uma base do autoespaço é .

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda)=lambda^3-12lambda-16
Autovalores:
lambda=-2 (multiplicidade algébrica 2),
lambda=4 (multiplicidade algébrica 1).
Bases dos autoespaços:
para lambda=4: (1,1,2);
para lambda=-2: (1,1,0),,(-1,0,1).

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