Justifique as seguintes proposições válidas para um operador linear ou para matriz quadrada
de ordem
.
é invertível se e somente se
não é autovalor de
.
Passo 1
O enunciado afirma que, para uma matriz quadrada
de ordem
(ou operador linear em
), temos a equivalência:
O que vamos usar:
– Definição de inversibilidade ( ).
– Definição de autovalor ( tal que
).
– Fato de que em dimensão finita injetividade implica invertibilidade.
– Definição de inversibilidade (
– Definição de autovalor (
– Fato de que em dimensão finita injetividade implica invertibilidade.
Passo 2
Suponha que
seja invertível. Então existe
com
. Se por absurdo
fosse autovalor, haveria
com
Aplicando
aos dois lados,
o que contradiz
. Logo não existe vetor não-nulo
tal que
, isto é,
não é autovalor de
.
Passo 3
Agora suponha que
não seja autovalor de
. Isso significa que o núcleo de
é trivial:
Uma aplicação linear de
em si mesma que é injetora (kernel só com o vetor zero) é também sobrejetora. Logo
é bijetora e, portanto, possui inversa linear
. Em termos de matrizes, injetividade implica posto máximo
, de onde segue
e
é invertível.
Resposta
Ficou demonstrado que