Justifique as seguintes proposições válidas para um operador linear ou para matriz quadrada A de ordem n.
A é invertível se e somente se 0R^n não é autovalor de A.

Passo 1

O enunciado afirma que, para uma matriz quadrada A de ordem n (ou operador linear em R^n), temos a equivalência:
A é invertível Long<=ftrightarrow 0R^n não é autovalor de A éíãé
O que vamos usar:
– Definição de inversibilidade ( exists Bcolon AB=BA=I).
– Definição de autovalor ( exists xneq0 tal que Ax=lambda x).
– Fato de que em dimensão finita injetividade implica invertibilidade.

Passo 2

Suponha que A seja invertível. Então existe B com AB=I. Se por absurdo 0 fosse autovalor, haveria xneq0 com
Ax=0
Aplicando B aos dois lados,
x = B(Ax) = B0 = 0,
o que contradiz xneq0. Logo não existe vetor não-nulo x tal que Ax=0, isto é, 0 não é autovalor de A.

Passo 3

Agora suponha que 0 não seja autovalor de A. Isso significa que o núcleo de A é trivial:
ker(A)=0
Uma aplicação linear de R^n em si mesma que é injetora (kernel só com o vetor zero) é também sobrejetora. Logo A é bijetora e, portanto, possui inversa linear A^-1. Em termos de matrizes, injetividade implica posto máximo n, de onde segue det(A)neq0 e A é invertível.

Resposta

Ficou demonstrado que
A invertível Long<=ftrightarrow ker(A)=0 Long<=ftrightarrow 0 não é autovalor de A íãé

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