Seja T: R^2 R^2 um operador linear cuja representação matricial na base canônica é:
[T]=[ll 0 & a b & 0 ]
Para que valores de a e b T é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado trata de um operador linear T:R^2toR^2 cuja matriz na base canônica é
[T]=0 & a b & 0
O conteúdo é diagonalização de matrizes 2times2: para T ser diagonalizável sobre R, precisamos que exista uma base de R^2 formada por autovetores de [T], o que ocorre exatamente quando o polinômio característico se separa em fatores lineares distintos ou quando [T] é múltiplo da identidade.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de
,M=[T]=0 & a b & 0
Temos
det(M - lambda I) = det-lambda & a b & -lambda = lambda^2 - ab
Logo, os autovalores lambda satisfazem
lambda^2 = ab Longrightarrow lambda = pmraizab

Passo 3

Analisamos os três casos para o produto ab:
  1. Se ab>0, então raizabinRsetminus0 e os dois autovalores lambda1=+raizab e lambda2=-raizab são reais e distintos. Em dimensão 2, autovalores distintos garantem dois autovetores linearmente independentes, logo M é diagonalizável sobre R.
  2. Se ab<0, então raizab é imaginário puro e os autovalores são complexos conjugados não reais. Assim, não há base de autovetores reais e M não é diagonalizável sobre R.
  3. Se ab=0, então o polinômio característico é lambda^2=0, autovalor único lambda=0 com multiplicidade algébrica 2.
    • Se a=b=0, então M é a matriz zero, que já é diagonal (múltiplo da identidade) e admite qualquer base de R^2 como de autovetores.
    • Se exatamente um de a,b for não nulo, M tem apenas um autovetor (a dimensão do espaço próprio é 1) e, portanto, não é diagonalizável.

Passo 4

Em resumo, sobre R a condição para diagonalização é ter duas direções de autovetores reais independentes. Pelos casos acima, isso ocorre exatamente quando ab>0 ou quando a=b=0.

Resposta

A matriz 0 & a b & 0 é diagonalizável sobre R se, e somente se,
ab>0 ou a=b=0

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