Seja
um operador linear cuja representação matricial na base canônica é:
Para que valores de
e
é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado trata de um operador linear
cuja matriz na base canônica é
O conteúdo é diagonalização de matrizes
: para
ser diagonalizável sobre
, precisamos que exista uma base de
formada por autovetores de
, o que ocorre exatamente quando o polinômio característico se separa em fatores lineares distintos ou quando
é múltiplo da identidade.
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico de
Temos
Temos
Logo, os autovalores
satisfazem
Passo 3
Analisamos os três casos para o produto
:
-
Se
, então e os dois autovalores e são reais e distintos. Em dimensão 2, autovalores distintos garantem dois autovetores linearmente independentes, logo é diagonalizável sobre . -
Se
, então é imaginário puro e os autovalores são complexos conjugados não reais. Assim, não há base de autovetores reais e não é diagonalizável sobre . -
Se
, então o polinômio característico é , autovalor único com multiplicidade algébrica 2. - Se
, então é a matriz zero, que já é diagonal (múltiplo da identidade) e admite qualquer base de como de autovetores. - Se exatamente um de
for não nulo, tem apenas um autovetor (a dimensão do espaço próprio é 1) e, portanto, não é diagonalizável.
- Se
Passo 4
Em resumo, sobre
a condição para diagonalização é ter duas direções de autovetores reais independentes. Pelos casos acima, isso ocorre exatamente quando
ou quando
.
Resposta
A matriz
é diagonalizável sobre
se, e somente se,