; C: a cúbica retorcida
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular
, onde o campo vetorial
e a curva
é a cúbica retorcida dada por
para
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, parametrizar o campo vetorial e a curva, e então calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
usando o parâmetro
. Já temos
. O próximo passo é encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos dará o vetor tangente à curva.
Passo 3
Agora, vamos expressar o campo vetorial
em termos do parâmetro
. Substituímos
,
e
na função
pelas componentes de
:
Substituindo esses valores na expressão de
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculamos o produto escalar
:
Somando os termos semelhantes:
Passo 5
Por fim, integramos essa expressão em relação a
de 0 a 1 para encontrar o valor da integral de linha:
Calculando cada integral separadamente:
Somando os resultados:
Resposta
A integral
é igual a
.