integralC F cdot d R ; F(x, y, z)=2 x y i+(6 y^2-x z) j+10 z k; C: a cúbica retorcida R(t)=t i+t^2 j+t^3 k, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha! O enunciado pede para calcular integralC F cdot dR, onde o campo vetorial F(x, y, z) = 2xy, i + (6y^2 - xz), j + 10z, k e a curva C é a cúbica retorcida dada por R(t) = t, i + t^2, j + t^3, k para 0 <= t <= 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha, parametrizar o campo vetorial e a curva, e então calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C usando o parâmetro t. Já temos R(t) = t, i + t^2, j + t^3, k. O próximo passo é encontrar a derivada de R(t) em relação a t, que é dR/dt. Isso nos dará o vetor tangente à curva.
dRdt = ddt(t, i + t^2, j + t^3, k) = i + 2t, j + 3t^2, k

Passo 3

Agora, vamos expressar o campo vetorial F em termos do parâmetro t. Substituímos x, y e z na função F(x, y, z) pelas componentes de R(t):
x = t, y = t^2, z = t^3
Substituindo esses valores na expressão de F:
F(t) = 2(t)(t^2), i + (6(t^2)^2 - t cdot t^3), j + 10(t^3), k
Simplificando:
F(t) = 2t^3, i + (6t^4 - t^4), j + 10t^3, k = 2t^3, i + 5t^4, j + 10t^3, k

Passo 4

Agora, calculamos o produto escalar F(t) cdot dRdt:
F(t) cdot dRdt = (2t^3)(1) + (5t^4)(2t) + (10t^3)(3t^2) = 2t^3 + 10t^5 + 30t^5
Somando os termos semelhantes:
2t^3 + 40t^5

Passo 5

Por fim, integramos essa expressão em relação a t de 0 a 1 para encontrar o valor da integral de linha:
integral0^1 (2t^3 + 40t^5), dt = integral0^1 2t^3, dt + integral0^1 40t^5, dt
Calculando cada integral separadamente:
integral0^1 2t^3, dt = 2 [t^44]0^1 = 2 (14 - 0) = 12
integral0^1 40t^5, dt = 40 [t^66]0^1 = 40 (16 - 0) = 406 = 203
Somando os resultados:
12 + 203 = 36 + 406 = 436

Resposta

A integral integralC F cdot dR é igual a 436.

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