Se C é uma curva fechada simples suave por partes e f e g são funções diferenciáveis, mostre que \int_{C} f(x) d x+g(y) d y=0.

Passo 1

Resumindo: o enunciado pede para provar que, sendo C uma curva fechada simples suave por partes e f e g funções diferenciáveis de uma variável, vale
\oint_C f(x)\,dx + g(y)\,dy = 0.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada a uma integral dupla sobre a região D delimitada por C.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = f(x), \quad N(x,y) = g(y).
Como f depende só de x e g só de y, segue
\frac{\partial N}{\partial x} = 0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial M}{\partial y} = 0,
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\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} = 0.

Passo 3

Pelo Teorema de Green, temos
\oint_C M\,dx + N\,dy = \iint_{D}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Como o integrando é zero em toda a região D, a integral dupla é zero. Portanto
\oint_C f(x)\,dx + g(y)\,dy = 0.

Resposta

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