Se
é uma curva fechada simples suave por partes e
e
são funções diferenciáveis, mostre que
.
Passo 1
Resumindo: o enunciado pede para provar que, sendo
uma curva fechada simples suave por partes e
e
funções diferenciáveis de uma variável, vale
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada a uma integral dupla sobre a região
delimitada por
.
Passo 2
Definimos
Como
depende só de
e
só de
, segue
logo
Passo 3
Pelo Teorema de Green, temos
Como o integrando é zero em toda a região
, a integral dupla é zero. Portanto