(a) Esboce a curva C com equações paramétricas
x=\cos t \quad y=\operatorname{sen} t \quad z=\operatorname{sen} t \quad 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi
(b) Determine
\int_{C} 2 x e^{2 y} d x+\left(2 x^{2} e^{2 y}+2 y \operatorname{cotg} z\right) d y-y^{2} \operatorname{cossec}^{2} z d z.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=\sin t,\quad 0\le t\le2\pi
e pede:
(a) esboçar C, que envolve geometria de curvas em \mathbb R^3;
(b) calcular o integral de linha
\int_C 2x e^{2y}\,dx+\bigl(2x^2 e^{2y}+2y\cot z\bigr)\,dy - y^2\csc^2 z\,dz,
o que envolve reconhecer se o campo \mathbf F=(P,Q,R) é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial.

Passo 2

Para esboçar C notamos que
x^2 + y^2 = \cos^2 t + \sin^2 t = 1,
e ao mesmo tempo
z = \sin t = y.
Logo C é a interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=y. É uma circunferência de raio 1 inclinada num ângulo de 45^\circ em relação ao plano xy, projetando-se num círculo unitário no plano xy e subindo/descendo de acordo com z=y.

Passo 3

Para o integral de linha definimos
P=2x e^{2y},\quad Q=2x^2 e^{2y}+2y\cot z,\quad R=-y^2\csc^2 z.
Verificamos que
\frac{\partial P}{\partial y}=4x e^{2y},\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=4x e^{2y},
\frac{\partial Q}{\partial z}=-2y\csc^2 z,\quad \frac{\partial R}{\partial y}=-2y\csc^2 z,
e \partial P/\partial z=\partial R/\partial x=0. Como todas as iguais coincidem, \mathbf F é conservativo em seu domínio (exceto onde z=k\pi, mas veremos que o integral é bem definido por continuidade).

Passo 4

Procuramos f tal que \nabla f=\mathbf F. Integrando P em x:
f(x,y,z)=\int 2x e^{2y}\,dx = x^2 e^{2y} + g(y,z).
Depois exigimos
\frac{\partial f}{\partial y}=2x^2 e^{2y} + g_y(y,z)=Q \quad\Longrightarrow\quad g_y(y,z)=2y\cot z
\implies g(y,z)=y^2\cot z + h(z).
Finalmente
\frac{\partial f}{\partial z} =-y^2\csc^2 z + h'(z)=R=-y^2\csc^2 z \quad\Longrightarrow\quad h'(z)=0.
Logo podemos tomar
f(x,y,z)=x^2 e^{2y} + y^2\cot z.
Como \mathbf F=\nabla f, temos
\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r = f\bigl(x(2\pi),y(2\pi),z(2\pi)\bigr) - f\bigl(x(0),y(0),z(0)\bigr).
Em t=0 e t=2\pi temos (x,y,z)=(1,0,0). Note que
\sin^2 t\,\cot(\sin t) tende a 0 quando t\to0,2\pi.
Logo
f(1,0,0)=1^2e^0 + 0 = 1,
e o mesmo em t=2\pi. Portanto o integral vale
1 - 1 = 0.

Resposta

(a) C é a circunferência de raio 1 dada pela interseção de x^2+y^2=1 com o plano z=y, inclinada a 45^\circ.
(b) 0.

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