(a) Esboce a curva
com equações paramétricas
(b) Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede:
(a) esboçar , que envolve geometria de curvas em
;
(b) calcular o integral de linha
(a) esboçar
(b) calcular o integral de linha
o que envolve reconhecer se o campo
é conservativo e, em caso afirmativo, achar uma função potencial.
Passo 2
Para esboçar
notamos que
e ao mesmo tempo
Logo
é a interseção do cilindro
com o plano
. É uma circunferência de raio
inclinada num ângulo de
em relação ao plano
, projetando-se num círculo unitário no plano
e subindo/descendo de acordo com
.
Passo 3
Para o integral de linha definimos
Verificamos que
e
. Como todas as iguais coincidem,
é conservativo em seu domínio (exceto onde
, mas veremos que o integral é bem definido por continuidade).
Passo 4
Procuramos
tal que
. Integrando
em
:
Depois exigimos
Finalmente
Logo podemos tomar
Como
, temos
Em
e
temos
. Note que
tende a
quando
.
Logo
Logo
e o mesmo em
. Portanto o integral vale
Resposta
(a)
é a circunferência de raio
dada pela interseção de
com o plano
, inclinada a
.
(b) .
(b)