Encontre o trabalho feito pelo campo de força.
\mathbf{F}(x, y, z)=z \mathbf{i}+x \mathbf{j}+y \mathbf{k}
ao mover uma partícula do ponto (3,0,0) ao ponto (0, \pi / 2,3) ao longo
(a) de uma reta
(b) da hélice x=3 \cos t, y=t, z=3 \operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
para \mathbf{F}(x,y,z)=z\,\mathbf{i}+x\,\mathbf{j}+y\,\mathbf{k} movendo-se de (3,0,0) até \bigl(0,\tfrac{\pi}{2},3\bigr).
O conteúdo é integral de linha de um campo não conservativo (pois
\nabla\times\mathbf{F}=(1,1,1)\neq\mathbf{0}
), então o resultado depende do caminho. Vamos parametrizar cada curva, calcular d\mathbf{r}, substituir \mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) e integrar \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

(a) Trajetória reta de (3,0,0) a \bigl(0,\tfrac{\pi}{2},3\bigr).
Escolhemos t\in[0,1] e
\mathbf{r}(t)=\bigl(3-3t,\;\tfrac{\pi}{2}t,\;3t\bigr), \quad d\mathbf{r}=\bigl(-3,\;\tfrac{\pi}{2},\;3\bigr)\,dt.
Nesse ponto
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\bigl(z,\;x,\;y\bigr) =\bigl(3t,\;3-3t,\;\tfrac{\pi}{2}t\bigr).
O produto escalar é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =3t(-3)+(3-3t)\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}t\cdot3 =-9t+\tfrac{3\pi}{2}\,.
Integrando de 0 a 1:
W_{\rm reta} =\int_0^1\Bigl(\tfrac{3\pi}{2}-9t\Bigr)\,dt =\tfrac{3\pi}{2}-\tfrac{9}{2} =\frac{3\pi-9}{2}.

Passo 3

(b) Hélice x=3\cos t,\;y=t,\;z=3\sin t, com t de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
Temos
\mathbf{r}(t)=(3\cos t,\;t,\;3\sin t), \quad d\mathbf{r}=(-3\sin t,\;1,\;3\cos t)\,dt.
E
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =(z,x,y) =(3\sin t,\;3\cos t,\;t).
O produto escalar fica
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-9\sin^2t+3\cos t+3t\cos t.
Usamos \sin^2t=\tfrac{1-\cos2t}{2} e integramos de 0 a \tfrac{\pi}{2}. O termo com \cos2t não contribui, e o restante dá
W_{\rm hélice} =-\frac{9\pi}{4}+3+\Bigl(\frac{3\pi}{2}-3\Bigr) =-\frac{3\pi}{4}.é

Resposta

(a) \displaystyle \frac{3\pi-9}{2}
(b) \displaystyle -\frac{3\pi}{4}

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