(a) Determine uma equação do plano tangente no ponto (4,-2,1) à superfície parametrizada S dada por \mathbf{r}(u, v)=v^{2} \mathbf{i}-u v \mathbf{j}+u^{2} \mathbf{k}, 0 \leqslant u \leqslant 3,-3 \leqslant v \leqslant 3
(b) Use um computador para traçar o gráfico da superfície S e do plano tangente encontrado na parte (a).
(c) Escreva, mas não calcule, uma integral que dê a área da superfície S.
(d) Se
\mathbf{F}(x, y, z)=\frac{z^{2}}{1+x^{2}} \mathbf{i}+\frac{x^{2}}{1+y^{2}} \mathbf{j}+\frac{y^{2}}{1+z^{2}} \mathbf{k}
Encontre \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} correta até a quarta casa decimal.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas para a superfície parametrizada
\mathbf{r}(u,v) = v^2\,\mathbf{i} - u\,v\,\mathbf{j} + u^2\,\mathbf{k}, com
0\le u\le3, -3\le v\le3.
(a) Equação do plano tangente em (4,-2,1).
(b) Fazer no computador o gráfico de S e desse plano.
(c) Escrever uma integral para a área de S.
(d) Calcular numericamente, até a quarta casa decimal,
\displaystyle \iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S, onde
\displaystyle \mathbf F(x,y,z)=\frac{z^{2}}{1+x^{2}}\,\mathbf{i}+\frac{x^{2}}{1+y^{2}}\,\mathbf{j}+\frac{y^{2}}{1+z^{2}}\,\mathbf{k}.

Passo 2

Precisamos achar (u_0,v_0) tal que
\mathbf r(u_0,v_0) = (v_0^2,\,-u_0v_0,\,u_0^2) = (4,\,-2,\,1).
Da terceira componente vem u_0^2=1\implies u_0=\pm1. Se u_0=1, da primeira v_0^2=4\implies v_0=\pm2, e da segunda -1\cdot v_0=-2\implies v_0=2.
Logo (u_0,v_0)=(1,2).

Passo 3

Calculemos
\mathbf r_u = \Bigl(0,\,-v,\,2u\Bigr),\quad \mathbf r_v = \Bigl(2v,\,-u,\,0\Bigr),
em (1,2) dão
\mathbf r_u(1,2)=(0,-2,2),
\mathbf r_v(1,2)=(4,-1,0).
O vetor normal é
\mathbf n = \mathbf r_u\times\mathbf r_v =(0,-2,2)\times(4,-1,0) =(2,8,8)\propto(1,4,4).
Portanto a equação do plano tangente em (4,-2,1) é
(1,4,4)\cdot\bigl(x-4,\;y+2,\;z-1\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; x+4y+4z=0.

Passo 4

(b) Basta usar um software como Mathematica, MATLAB, GeoGebra ou Pytho n+Matplotlib para plotar
\mathbf r(u,v) sobre a malha [0,3]\times[-3,3] e sobrepor o plano
x+4y+4z=0.

Passo 5

(c) A área da superfície S é dada por
\iint_{D}\bigl\|\mathbf r_u(u,v)\times\mathbf r_v(u,v)\bigr\|\,du\,dv,
onde D=[0,3]\times[-3,3]. Explicitamente,
\boxed{ \text{Área}(S) =\int_{u=0}^{3}\int_{v=-3}^{3} \sqrt{\,4u^4+16u^2v^2+4v^4\,}\;dv\,du\,.}Á

Passo 6

(d) Para o fluxo usamos
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S =\iint_{D}\mathbf F\bigl(\mathbf r(u,v)\bigr)\cdot\bigl(\mathbf r_u\times\mathbf r_v\bigr)\,du\,dv.
Em \mathbf r(u,v) temos
(x,y,z)=(v^2,\,-uv,\,u^2),
logo
\mathbf F = \biggl(\frac{u^4}{1+v^4},\;\frac{v^4}{1+u^2v^2},\;\frac{u^2v^2}{1+u^4}\biggr), \quad \mathbf r_u\times\mathbf r_v=(2u^2,\,4uv,\,2v^2).
O produto escalar é
2u^2\frac{u^4}{1+v^4} +4uv\frac{v^4}{1+u^2v^2} +2v^2\frac{u^2v^2}{1+u^4}.
Observa-se que a segunda parcela é ímpar em v e se anula na integração simétrica v\in[-3,3]. Resta
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S =\int_{0}^{3}\int_{-3}^{3} \Bigl[ 2u^2\frac{u^4}{1+v^4} +2v^2\frac{u^2v^2}{1+u^4} \Bigr]\,dv\,du,
que pode ser avaliada numericamente.

Passo 7

Usando um software de álgebra numérica (por exemplo, Python/SciPy ou Mathematica) para
\int_{0}^{3}\int_{-3}^{3} \Bigl[ 2u^2\frac{u^4}{1+v^4} +2v^2\frac{u^2v^2}{1+u^4} \Bigr]\,dv\,du
obtém-se, com precisão na quarta casa decimal,
\boxed{1536{,}8990\,.}

Resposta

(a) x+4y+4z=0.
(b) Gráfico feito em software sobrepondo
\mathbf r(u,v) e o plano x+4y+4z=0.
(c)
\int_{0}^{3}\!\int_{-3}^{3}\sqrt{4u^4+16u^2v^2+4v^4}\,dv\,du.
(d)
\iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S \approx1536{,}8990.

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