(a) Determine uma equação do plano tangente no ponto (4,-2,1) à superfície parametrizada S dada por \mathbf{r}(u, v)=v^{2} \mathbf{i}-u v \mathbf{j}+u^{2} \mathbf{k}, 0 \leqslant u \leqslant 3,-3 \leqslant v \leqslant 3
(b) Use um computador para traçar o gráfico da superfície S e do plano tangente encontrado na parte (a).
(c) Escreva, mas não calcule, uma integral que dê a área da superfície S.
(d) Se
\mathbf{F}(x, y, z)=\frac{z^{2}}{1+x^{2}} \mathbf{i}+\frac{x^{2}}{1+y^{2}} \mathbf{j}+\frac{y^{2}}{1+z^{2}} \mathbf{k}
Encontre \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} correta até a quarta casa decimal.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas para a superfície parametrizada \mathbf{r}(u,v) = v^2\,\mathbf{i} - u\,v\,\mathbf{j} + u^2\,\mathbf{k}, com 0\le u\le3, -3\le v\le3.
(a) Equação do plano tangente em (4,-2,1).
(b) Fazer no computador o gráfico de S e desse plano.
(c) Escrever uma integral para a área de S.
(d) Calcular numericamente, até a quarta casa decimal, \displaystyle \iint_{S}\mathbf F\cdot d\mathbf S, onde \displaystyle \mathbf F(x,y,z)=\frac{z^{2}}{1+x^{2}}\,\mathbf{i}+\frac{x^{2}}{1+y^{2}}\,\mathbf{j}+\frac{y^{2}}{1+z^{2}}\,\mathbf{k}.
Da terceira componente vem u_0^2=1\implies u_0=\pm1. Se u_0=1, da primeira v_0^2=4\implies v_0=\pm2, e da segunda -1\cdot v_0=-2\implies v_0=2.
Logo (u_0,v_0)=(1,2).
(b) Basta usar um software como Mathematica, MATLAB, GeoGebra ou Python+Matplotlib para plotar \mathbf r(u,v) sobre a malha [0,3]\times[-3,3] e sobrepor o plano