Verifique que o Teorema de Green é verdadeiro para a integral de linha \int_{C} x y^{2} d x-x^{2} y d y, onde C consiste na parábola y=x^{2} de (-1,1) a (1,1) e no segmento de reta de (1,1) a (-1,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy \quad\text{com}\quad P(x,y)=x y^{2},\;Q(x,y)=-x^{2}y,
onde C é o caminho fechado formado por:
C_{1}: a parábola y=x^{2} de (-1,1) a (1,1)
C_{2}: o segmento de reta de (1,1) a (-1,1)
Vamos (i) calcular diretamente a integral de linha e (ii) calcular a integral dupla de
\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} sobre a região R encerrada, e mostrar que coincidem.

Passo 2

Calcular \displaystyle \int_{C_{1}}P\,dx+Q\,dy na parábola y=x^{2}.
Parametrização:
\;x=t,\;y=t^{2},\;t\in[-1,1],
\;dx=dt,\;dy=2t\,dt.
Então
P\,dx = t\,(t^{2})^{2}\,dt = t^{5}dt, \qquad Q\,dy = -t^{2}\,t^{2}\,(2t\,dt) = -2t^{5}dt.
Logo
\int_{C_{1}}P\,dx+Q\,dy = \int_{-1}^{1}\bigl(t^{5}-2t^{5}\bigr)dt = \int_{-1}^{1}(-t^{5})\,dt = 0
(porque t^{5} é função ímpar).

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{C_{2}}P\,dx+Q\,dy no segmento de reta de (1,1) a (-1,1).
Parametrização:
\;x=s,\;y=1,\;s de 1 até -1,
\;dx=ds,\;dy=0.
Então
P\,dx = s\cdot1^{2}\,ds = s\,ds, \qquad Q\,dy=0.
Logo
\int_{C_{2}}P\,dx+Q\,dy = \int_{1}^{-1} s\,ds = -\int_{-1}^{1} s\,ds = 0.

Passo 4

Calcular a integral dupla de \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} sobre R.
Temos
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x^{2}y) = -2xy, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}) = 2xy,
logo o rotacional é
\displaystyle -2xy - 2xy = -4xy.
A região R é dada por \{(x,y)\mid x^{2}\le y\le1,\;-\,\sqrt{y}\le x\le\sqrt{y}\}.
Logo
\iint_{R}(-4xy)\,dA = \int_{y=0}^{1}\int_{x=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} (-4xy)\,dx\,dy.
Mas -4y é constante em x e \displaystyle \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} x\,dx=0, portanto toda a integral é 0.

Passo 5

Pelo cálculo direto em C_{1}\cup C_{2} obtivemos 0+0=0, e pela integral dupla de -4xy também obtivemos 0. Assim a integral de linha coincide com a integral dupla, confirmando o Teorema de Green neste caso.

Resposta

A integral de linha e a integral dupla dão ambas 0, logo o Teorema de Green é verificado.

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