Verifique que o Teorema de Green é verdadeiro para a integral de linha
, onde
consiste na parábola
de
a
e no segmento de reta de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para
onde
é o caminho fechado formado por:
– : a parábola
de
a
– : o segmento de reta de
a
Vamos (i) calcular diretamente a integral de linha e (ii) calcular a integral dupla de
sobre a região
encerrada, e mostrar que coincidem.
–
–
Vamos (i) calcular diretamente a integral de linha e (ii) calcular a integral dupla de
Passo 2
Calcular
na parábola
.
Parametrização:
,
.
Então
Parametrização:
Então
Logo
(porque
é função ímpar).
Passo 3
Calcular
no segmento de reta de
a
.
Parametrização:
de
até
,
.
Então
Parametrização:
Então
Logo
Passo 4
Calcular a integral dupla de
sobre
.
Temos
Temos
logo o rotacional é
.
A região é dada por
.
Logo
A região
Logo
Mas
é constante em
e
, portanto toda a integral é
.
Passo 5
Pelo cálculo direto em
obtivemos
, e pela integral dupla de
também obtivemos
. Assim a integral de linha coincide com a integral dupla, confirmando o Teorema de Green neste caso.
Resposta
A integral de linha e a integral dupla dão ambas
, logo o Teorema de Green é verificado.