Se C é a curva \vec{r}(t)=\left(2 t^{3}-t,-2 t^{2}-2 t\right), com 0 \leq t \leq 1, entăo
\int_{C}(-4 x-2 y, 1-2 x) \cdot d \vec{r}
é igual a

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}(-4x-2y,\;1-2x)\cdot d\vec r
em que C é dada por \vec r(t)=(2t^3-t,\,-2t^2-2t), 0\le t\le1.
O conteúdo principal é integral de linha de campo vetorial e, como veremos, este campo é conservativo, então usaremos função potencial.

Passo 2

Denotemos
P(x,y)=-4x-2y,\quad Q(x,y)=1-2x.
Verificamos se o campo é conservativo comparando
\frac{\partial P}{\partial y}=-2, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=-2.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, existe função potencial \varphi(x,y).

Passo 3

Para achar \varphi(x,y), integramos P em relação a x:
\varphi(x,y)=\int(-4x-2y)\,dx=-2x^2-2xy+g(y).
Derivando em y e igualando a Q,
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=-2x+g'(y)=1-2x \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=1 \quad\Longrightarrow\quad g(y)=y.
Logo
\varphi(x,y)=-2x^2-2xy+y.

Passo 4

Os extremos de C são \vec r(0)=(0,0) e \vec r(1)=(2\cdot1^3-1,\,-2\cdot1^2-2\cdot1)=(1,-4).
Calculamos
\varphi(1,-4)=-2\cdot1^2-2\cdot1\cdot(-4)+(-4)=-2+8-4=2,
\varphi(0,0)=0.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental para campos conservativos,
\int_{C}(-4x-2y,\;1-2x)\cdot d\vec r =\varphi\bigl(\vec r(1)\bigr)-\varphi\bigl(\vec r(0)\bigr) =2-0=2.

Resposta

2

Exercícios relacionados