Considere a função f(x, y)=x^{2}-y^{2} sob a restrição x^{2}+y^{2}=1.
Isole y^{2} na restrição e substitua em f para obter f apenas na variável x. Após isso, determine o máximo e o mínimo absolutos de f.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
\displaystyle f(x,y)=x^{2}-y^{2}
sujeita à restrição
\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.
O conteúdo é otimização com restrição de igualdade. Vamos isolar y^{2} na restrição, expressar f apenas em x e, em seguida, encontrar os extremos absolutos no intervalo adequado.

Passo 2

Da restrição
x^{2}+y^{2}=1
isolamos
y^{2}=1 - x^{2}.

Passo 3

Substituindo y^{2} em f, obtemos função de uma variável:
f(x)=x^{2} - (1 - x^{2}) = 2x^{2} - 1,
com domínio determinado por -1 \le x \le 1.

Passo 4

A função \displaystyle f(x)=2x^{2}-1 é crescente em |x|. No intervalo [-1,1], o valor mínimo de x^{2} ocorre em x=0 e o máximo em x=\pm1. Logo:
\min_{[-1,1]}f(x)=f(0)=2\cdot0^{2}-1=-1,
\max_{[-1,1]}f(x)=f(\pm1)=2\cdot1^{2}-1=1.

Resposta

O máximo absoluto de f é 1, atingido nos pontos (1,0) e (-1,0).
O mínimo absoluto de f é -1, atingido nos pontos (0,1) e (0,-1).

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