Em cada item, determine o máximo e o mínimo absolutos da função f na região R. Sugestão. Parte do trabalho já foi feito nos exercícios P1. e P3.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+4 x-4 y, R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 9\right\}.

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+4x-4y
sobre a região fechada e limitada
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le9\}.
Para isso vamos:
  1. encontrar pontos críticos em R resolvendo \nabla f=0;
  2. avaliar f nesses pontos;
  3. estudar f na fronteira x^{2}+y^{2}=9 por parametrização;
  4. comparar os valores para decidir máximo e mínimo absolutos.

Passo 2

Calculamos o gradiente:
\nabla f=(\partial_{x}f,\partial_{y}f)=(2x+4,\;2y-4).
Igualando a zero dá
2x+4=0,\quad2y-4=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2,\;y=2.

Passo 3

Verificamos que (-2,2) está em R porque
(-2)^{2}+2^{2}=8\le9,
e calculamos
f(-2,2)=(-2)^{2}+2^{2}+4(-2)-4\cdot2 =4+4-8-8=-8.

Passo 4

Na fronteira usamos
x=3\cos t,\quad y=3\sin t,\quad t\in[0,2\pi],
então
f(t)=9+12(\cos t-\sin t).
Esse passo vem de
x^{2}+y^{2}=9,\quad4x-4y=12(\cos t-\sin t),
mais o termo 9 de x^{2}+y^{2}.

Passo 5

Para maximizar/minimizar
\cos t-\sin t note que
\cos t-\sin t=\sqrt{2}\cos\bigl(t+45^{\circ}\bigr)
varia entre \pm\sqrt{2}. Logo
f_{\max,\partial R}=9+12\sqrt{2},\quad f_{\min,\partial R}=9-12\sqrt{2}.
O máximo ocorre em
t=-45^{\circ}\;\bigl(\text{ou }315^{\circ}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad (x,y)=\Bigl(\tfrac{3\sqrt{2}}{2},-\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\Bigr).
O mínimo na fronteira ocorre em t=135^{\circ}, mas
9-12\sqrt{2}\approx-7,97
é maior que -8, então não supera o valor em (-2,2).

Passo 6

Comparando:
\min_{R}f=-8\quad\text{em }(-2,2), \qquad \max_{R}f=9+12\sqrt{2}\quad\text{em }\Bigl(\tfrac{3\sqrt{2}}{2},-\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\Bigr).

Resposta

O mínimo absoluto vale -8 em (-2,2).
O máximo absoluto vale 9+12\sqrt{2} em \bigl(\tfrac{3\sqrt{2}}{2},-\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr).

Exercícios relacionados