Considerar os seguintes conjuntos de vectores em V3 : S=(1,1,1),(0,1,2),(1,0,-1), T=(2,1,0),(2,0,-2), U=(1,2,3),(1,3,5). (a) Provar que L(T) subseteq L(S).

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos de vetores em R^3
S=(1,1,1),;(0,1,2),;(1,0,-1), T=(2,1,0),;(2,0,-2)
e pede para provar que ,L(T)subseteq L(S).
Aqui o conteúdo é o de espaço gerado (span): para mostrar ,L(T)subseteq L(S) basta expressar cada vetor de T como combinação linear dos vetores de S.

Passo 2

Expressão de (2,1,0) em função de S.
Observamos que
2,(1,1,1) ;-;1,(0,1,2) =(2,2,2)-(0,1,2)=(2,1,0)
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(2,1,0)=2,(1,1,1);-;(0,1,2)in L(S)

Passo 3

Expressão de (2,0,-2) em função de S.
Como
2,(1,0,-1)=(2,0,-2),
segue que
(2,0,-2)=2,(1,0,-1)in L(S)

Passo 4

Conclusão da inclusão.
Um vetor genérico de L(T) é
v=a,(2,1,0)+b,(2,0,-2),
com a,binR. Substituindo as expressões dos Passos 2 e 3, temos
v=al[2(1,1,1)-(0,1,2)r]+bl[2(1,0,-1)r]
que é combinação linear dos vetores de S. Portanto vin L(S) para todo vin L(T).

Resposta

L(T)subseteq L(S)

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