c) Determine os geradores do seguinte conjunto de :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar os geradores do conjunto S de matrizes 2 times 2 com números reais, onde a soma de todos os elementos da matriz é zero. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, principalmente sobre geradores e combinações lineares, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que é o conjunto S . Ele é definido por todas as matrizes [ ll a & b c & d ] tais que a + b + c + d = 0 . Isso significa que se a gente souber três dos elementos, o quarto já está determinado porque a soma tem que ser zero.
Passo 3
Para encontrar os geradores de S , precisamos achar um conjunto de matrizes que podem ser combinadas linearmente para formar qualquer matriz em S . Como temos uma condição a + b + c + d = 0 , podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos, por exemplo, resolver para d :
d = - (a + b + c)
Então, qualquer matriz em S pode ser escrita como:
[ ll a & b c & - (a + b + c) ] = a [ ll 1 & 0 -1 & -1 ] + b [ ll 0 & 1 -1 & -1 ] + c [ ll 0 & 0 1 & -1 ]
Passo 4
Agora, identificamos três matrizes que, multiplicadas por a , b e c , respectivamente, nos dão qualquer matriz em S . Essas matrizes são:
Para confirmar que essas matrizes são realmente os geradores, a gente verifica se elas são linearmente independentes e se qualquer matriz em S pode ser escrita como uma combinação delas. Como conseguimos expressar qualquer matriz em S usando essas três, e elas não são combinações umas das outras, elas formam um conjunto gerador para S .