Considere o espaço vetorial real V=(x, y) ; x, y in R com as operações:
  • Adição: (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2+5, y1+y2)
  • Multiplicação por escalar: alpha otimes(x, y)=(alpha x+5(alpha-1), alpha y) para alpha in R
    b) Exiba o elemento neutro da adição do espaço vetorial W

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial real V = (x, y) ; x, y in R com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de maneira um pouco diferente do usual. A pergunta quer que a gente encontre o elemento neutro da adição nesse espaço vetorial W (presumivelmente V ). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um elemento neutro e como aplicar as operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um elemento neutro da adição. Em um espaço vetorial, o elemento neutro e é aquele que, quando somado a qualquer vetor v , não muda v . Ou seja, para todo v in V , temos:
v oplus e = v
No nosso caso, os vetores são pares ordenados (x, y) .

Passo 3

Vamos aplicar a definição do elemento neutro à operação de adição dada:
(x, y) oplus (ex, ey) = (x, y)
Substituindo a definição da adição fornecida:
(x + ex + 5, y + ey) = (x, y)
Isso nos dá duas equações:
  1. x + ex + 5 = x
  2. y + ey = y

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar ex e ey .
Da primeira equação:
x + ex + 5 = x implies ex + 5 = 0 implies ex = -5
Da segunda equação:
y + ey = y implies ey = 0

Resposta

O elemento neutro da adição no espaço vetorial W é (-5, 0) .

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