Considere o espaço vetorial real V=(x, y) ; x, y in R com as operações:
  • Adição: (x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2+5, y1+y2)
  • Multiplicação por escalar: alpha otimes(x, y)=(alpha x+5(alpha-1), alpha y) para alpha in R
    c) Exiba o elemento simétrico de vetor v=(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver a parte c desse exercício. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar.
Enunciado resumido: Temos um espaço vetorial V = (x, y) ; x, y in R com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de forma diferenciada. A tarefa é encontrar o elemento simétrico do vetor v = (x, y) .
Conteúdo da matéria: Espaços vetoriais e elementos simétricos (ou inversos aditivos).
O que vamos precisar: Entender o que é o elemento simétrico em um espaço vetorial e como calcular esse elemento usando as operações de adição dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o elemento simétrico de um vetor. Em termos simples, o elemento simétrico de um vetor v é outro vetor w que, quando somado a v usando a operação de adição do espaço vetorial, resulta no vetor nulo (ou elemento neutro da adição).
Matematicamente, queremos encontrar w tal que:
v oplus w = 0V
Onde 0V é o elemento neutro do espaço vetorial V .

Passo 3

Antes de mais nada, precisamos descobrir qual é o vetor nulo 0V nesse espaço vetorial específico. O vetor nulo é o elemento neutro da operação de adição, ou seja, o vetor que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não altera esse outro vetor.
Dada a operação de adição definida como:
(x1, y1) oplus (x2, y2) = (x1 + x2 + 5, , y1 + y2)
Queremos encontrar 0V = (a, b) tal que:
(x, y) oplus (a, b) = (x, y)

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar a e b :
(x + a + 5, , y + b) = (x, y)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
x + a + 5 = x y + b = y
Resolvendo:
  1. Primeira equação:
x + a + 5 = x implies a + 5 = 0 implies a = -5
  1. Segunda equação:
y + b = y implies b = 0
Portanto, o vetor nulo é:
0V = (-5, 0)

Passo 5

Agora que sabemos qual é o vetor nulo, vamos encontrar o elemento simétrico w = (c, d) de v = (x, y) tal que:
v oplus w = 0V
Ou seja:
(x, y) oplus (c, d) = (-5, 0)
Usando a operação de adição definida:
(x + c + 5, , y + d) = (-5, 0)
Isso nos dá outro sistema de equações:
x + c + 5 = -5 y + d = 0

Passo 6

Vamos resolver esse sistema para encontrar c e d :
  1. Primeira equação:
x + c + 5 = -5 implies c = -5 - x - 5 implies c = -x - 10
  1. Segunda equação:
y + d = 0 implies d = -y
Portanto, o elemento simétrico de v = (x, y) é:
w = (-x - 10, , -y)

Resposta

O elemento simétrico do vetor v = (x, y) é w = (-x - 10, -y) .

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