Considere o espaço vetorial real
com as operações:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
para
c) Exiba o elemento simétrico de vetor
c) Exiba o elemento simétrico de vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver a parte c desse exercício. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar.
Enunciado resumido: Temos um espaço vetorial
com operações de adição e multiplicação por escalar definidas de forma diferenciada. A tarefa é encontrar o elemento simétrico do vetor
.
Conteúdo da matéria: Espaços vetoriais e elementos simétricos (ou inversos aditivos).
O que vamos precisar: Entender o que é o elemento simétrico em um espaço vetorial e como calcular esse elemento usando as operações de adição dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o elemento simétrico de um vetor. Em termos simples, o elemento simétrico de um vetor
é outro vetor
que, quando somado a
usando a operação de adição do espaço vetorial, resulta no vetor nulo (ou elemento neutro da adição).
Matematicamente, queremos encontrar
tal que:
Onde
é o elemento neutro do espaço vetorial
.
Passo 3
Antes de mais nada, precisamos descobrir qual é o vetor nulo
nesse espaço vetorial específico. O vetor nulo é o elemento neutro da operação de adição, ou seja, o vetor que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não altera esse outro vetor.
Dada a operação de adição definida como:
Queremos encontrar
tal que:
Passo 4
Vamos resolver a equação para encontrar
e
:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo:
- Primeira equação:
- Segunda equação:
Portanto, o vetor nulo é:
Passo 5
Agora que sabemos qual é o vetor nulo, vamos encontrar o elemento simétrico
de
tal que:
Ou seja:
Usando a operação de adição definida:
Isso nos dá outro sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
:
- Primeira equação:
- Segunda equação:
Portanto, o elemento simétrico de
é:
Resposta
O elemento simétrico do vetor
é
.