C) Determine os limites das seguintes seqüências:
lim n infty n^sen(pi / n)

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an=n^sin!l(pi/nr)
quando ntoinfty. Vamos usar a técnica de passar para o logaritmo, empregar a equivalência sin xsim x para xto0 e depois voltar ao exponencial para obter o limite.

Passo 2

Defina
an=n^sin(pi/n)
Então o logaritmo natural é
ln an =sin!l(pi/nr),ln n
Para ntoinfty temos pi/nto0, e da equivalência para pequenas x vale
sin x sim x,
logo
sin!l(pi/nr)sim pin
Substituindo em ln an, obtemos
ln an sim pin,ln n
Como ln n cresce mais devagar que n, temos
ln nn;longrightarrow;0,
portanto
ln an;longrightarrow;0
Voltando ao an pelo exponencial, vem
an = e^ln an;longrightarrow;e^0=1

Resposta

boxed1

Exercícios relacionados