Mostre que se f é uma função derivável em x0, então f é contínua em x0. A recíproca é verdadeira? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma função f é derivável em um ponto x0, então ela é contínua em x0. O conteúdo envolve a definição de derivada em x0 e a noção de limite para continuidade.

Passo 2

Pela definição de derivada em x0, existe o seguinte limite finito:
f'(x0) =limxto x0f(x)-f(x0)x-x0
Isso significa que, quando xto x0,
f(x)-f(x0)x-x0
tende a um número real f'(x0).

Passo 3

Vamos escrever a diferença f(x)-f(x0) como produto:
f(x)-f(x0) =f(x)-f(x0)x-x0;l(x-x0r)
Como f(x)-f(x0)x-x0to f'(x0) e x-x0to 0 quando xto x0, pelo teorema do produto de limites segue que
limxto x0l(f(x)-f(x0)r) =f'(x0)cdot 0 =0

Passo 4

O resultado limxto x0l(f(x)-f(x0)r)=0 equivale a
limxto x0f(x) = f(x0),
isto é, f é contínua em x0.

Passo 5

Pergunta-se se a recíproca vale: “se f é contínua em x0, então ela é derivável em x0?” A resposta é não. Um contraexemplo clássico é
f(x)=|x|
no ponto x0=0. Essa função é contínua em 0 mas não tem derivada em 0, pois os limites laterais do quociente diferencial são diferentes.

Resposta

Se f é derivável em x0 então f é contínua em x0.
A recíproca é falsa (por exemplo, f(x)=|x| é contínua em 0 mas não derivável em 0).

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