Mostre que se
é uma função derivável em
, então
é contínua em
. A recíproca é verdadeira? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma função
é derivável em um ponto
, então ela é contínua em
. O conteúdo envolve a definição de derivada em
e a noção de limite para continuidade.
Passo 2
Pela definição de derivada em
, existe o seguinte limite finito:
Isso significa que, quando
,
tende a um número real
.
Passo 3
Vamos escrever a diferença
como produto:
Como
e
quando
, pelo teorema do produto de limites segue que
Passo 4
O resultado
equivale a
isto é,
é contínua em
.
Passo 5
Pergunta-se se a recíproca vale: “se
é contínua em
, então ela é derivável em
?” A resposta é não. Um contraexemplo clássico é
no ponto
. Essa função é contínua em
mas não tem derivada em
, pois os limites laterais do quociente diferencial são diferentes.
Resposta
Se
é derivável em
então
é contínua em
.
A recíproca é falsa (por exemplo, é contínua em
mas não derivável em
).
A recíproca é falsa (por exemplo,