Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty n+1n raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da razão ou o teste da raiz para descobrir se a série sumn=1^infty n+1n raizn converge ou diverge. Basicamente, a gente vai analisar se os termos dessa série somam até um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para entender melhor o que estamos lidando:
n+1n raizn = nn raizn + 1n raizn = 1raizn + 1n^3/2
Isso mostra que os termos da série se comportam como 1raizn para grandes valores de n.

Passo 3

Vamos tentar o teste da razão, que funciona assim:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não decide nada.
Vamos aplicar esse teste na nossa série.

Passo 4

Calculando an e an+1:
an = n+1n raizn = n+1n^3/2
an+1 = (n+1)+1(n+1) raizn+1 = n+2(n+1)^3/2
Agora, a razão:
an+1an = n+2(n+1)^3/2 cdot n^3/2n+1 = n+2n+1 cdot (nn+1)^3/2

Passo 5

Vamos simplificar e calcular o limite:
Para n muito grande,
n+2n+1 approx 1
E
(nn+1)^3/2 = (1 - 1n+1)^3/2 approx 1 - 32cdot1n+1 to 1
Então,
L = 1 times 1 = 1

Passo 6

Como o limite L = 1, o teste da razão não nos dá uma resposta definitiva. Então, vamos tentar outro caminho usando o teste da comparação.

Passo 7

Observamos que:
n+1n raizn = 1raizn + 1n^3/2 >= 1raizn
Sabemos que a série sumn=1^infty 1raizn é uma série p com p = 12. Para séries p, se p <= 1, a série diverge.
Como nossos termos são maiores ou iguais aos da série divergente 1raizn, pela comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n+1n raizn diverge.

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