C) Determine os limites das seguintes seqüências:
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar o limite da sequência
quando
cresce sem parar. O conteúdo aqui é limite de sequência e vamos precisar usar a transformação com logaritmo e exponencial.
Passo 2
Vamos reescrever
em termos de exponencial, já que
:
[\n n^{3/n} = e{\ln\bigl(n{3/n}\bigr)} = e^{\tfrac{3}{n},\ln n}.\n]
[\n n^{3/n} = e{\ln\bigl(n{3/n}\bigr)} = e^{\tfrac{3}{n},\ln n}.\n]
Passo 3
Agora analisamos o expoente
. Quando
, sabemos que
cresce bem mais devagar que
, logo
[\n \lim_{n\to\infty} \frac{3\ln n}{n} = 3;\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n} = 3\cdot 0 = 0.\n]
[\n \lim_{n\to\infty} \frac{3\ln n}{n} = 3;\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n} = 3\cdot 0 = 0.\n]
Passo 4
Como o expoente tende a zero, o exponencial tende a
. Portanto, o limite da sequência
é 1.
Resposta
1