Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o teste da razão ou o teste da raiz para determinar se a série
converge absolutamente ou diverge. Vamos precisar entender como aplicar esses testes para analisar a série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a série que estamos analisando. A série é:
Vamos simplificar o expoente para facilitar nosso trabalho:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos optar por usar o teste da raiz, que é útil quando temos séries com termos elevados a uma potência que depende de
. O teste da raiz diz que:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, identifiquemos
:
Agora, aplicamos a raiz
-ésima:
Simplificando o expoente:
Então, temos:
Passo 5
Vamos calcular o limite conforme
tende ao infinito:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
O limite obtido foi
. Segundo o teste da raiz, quando
, o teste é inconclusivo. Então, precisamos tentar outro método para determinar a convergência ou divergência da série.
Vamos então usar o teste da comparação. Observando os termos da série:
Sabemos que a série harmônica
diverge. Porém, para que possamos concluir algo usando o teste da comparação, precisamos que a série comparada seja maior e divergente, indicando que a nossa série também diverge.
Passo 7
Como
e a série
diverge, podemos concluir que a nossa série
também diverge por comparação.
Resposta
A série
diverge.