Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
1n^1+1n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o teste da razão ou o teste da raiz para determinar se a série sum 1n^1+1n converge absolutamente ou diverge. Vamos precisar entender como aplicar esses testes para analisar a série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que estamos analisando. A série é:
sumn=1^infty 1n^1+1n
Vamos simplificar o expoente para facilitar nosso trabalho:
1 + 1n = n + 1n
Então, a série fica:
sumn=1^infty 1n^n+1n

Passo 3

Agora, vamos optar por usar o teste da raiz, que é útil quando temos séries com termos elevados a uma potência que depende de n. O teste da raiz diz que:
limn to infty raiz[n]|an| = L
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, identifiquemos an:
an = 1n^1+1n
Agora, aplicamos a raiz n-ésima:
raiz[n]an = raiz[n]1n^1+1n = 1n^1n(1+1n)
Simplificando o expoente:
1n (1 + 1n) = 1n + 1n^2
Então, temos:
raiz[n]an = 1n^1n + 1n^2

Passo 5

Vamos calcular o limite conforme n tende ao infinito:
limn to infty 1n^1n + 1n^2
Sabemos que:
limn to infty 1n = 0 e limn to infty 1n^2 = 0
Portanto:
limn to infty 1n^0 + 0 = 1n^0 = 11 = 1

Passo 6

O limite obtido foi L = 1. Segundo o teste da raiz, quando L = 1, o teste é inconclusivo. Então, precisamos tentar outro método para determinar a convergência ou divergência da série.
Vamos então usar o teste da comparação. Observando os termos da série:
1n^1+1n < 1n
Sabemos que a série harmônica sum 1n diverge. Porém, para que possamos concluir algo usando o teste da comparação, precisamos que a série comparada seja maior e divergente, indicando que a nossa série também diverge.

Passo 7

Como 1n^1+1n < 1n e a série sum 1n diverge, podemos concluir que a nossa série sum 1n^1+1n também diverge por comparação.

Resposta

A série sum 1n^1+1n diverge.

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