Seja f(x)=x^2-4(x-1)^2
(c) Encontre, caso existam, os intervalos onde o gráfico da função f tem concavidade para cima e onde tem concavidade para baixo. E, encontre, caso existam, os pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^2-4(x-1)^2
e pede os intervalos de concavidade (para cima ou para baixo) e os pontos de inflexão. O conteúdo aqui é usar a segunda derivada f''(x): onde f''(x)>0 a curva é côncava para cima, onde f''(x)<0 é côncava para baixo, e pontos de inflexão ocorrem onde f''(x) muda de sinal (e f está definida).

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x) por regra do quociente, com u=x^2-4 e v=(x-1)^2:
u'=2x, v'=2(x-1),
f'(x)=u',v - u,v'v^2 =2x,(x-1)^2 - (x^2-4),2(x-1)(x-1)^4
Fatorando 2(x-1) no numerador:
f'(x) =2(x-1)l[x(x-1)-(x^2-4)r](x-1)^4 =2(x-1)l(x^2-x -x^2+4r)(x-1)^4 =2(x-1)(4-x)(x-1)^4 =2(4-x)(x-1)^3

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=2(4-x)(x-1)^-3. Usando derivada de produto/chain rule:
g(x)=2(4-x), g'(x)=-2, h(x)=(x-1)^-3, h'(x)=-3(x-1)^-4
Logo
f''(x) =g'(x),h(x)+g(x),h'(x) =-2,(x-1)^-3 +2(4-x)l[-3(x-1)^-4r]
Colocando sobre o mesmo denominador (x-1)^4 e simplificando, chega-se a
f''(x)=2(2x-11)(x-1)^4

Passo 4

Para achar possíveis pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0:
2(2x-11)=0 implies x=112
O denominador nunca zera para xneq1, então o único candidato em domínio de f é x=tfrac112.
Como (x-1)^4>0 sempre (para xneq1), o sinal de f''(x) é o sinal de 2x-11:
  • Se x<tfrac112, então 2x-11<0 e f''(x)<0.
  • Se x>tfrac112, então 2x-11>0 e f''(x)>0.

Passo 5

Logo, nos dois ramos de domínio (-infty,1) e (1,infty):
  • Para todo x<tfrac112 (incluindo todo (-infty,1) e (1,tfrac112)), temos f''(x)<0, ou seja, concavidade para baixo.
  • Para x>tfrac112 (ou seja, todo (tfrac112,infty)), temos f''(x)>0, ou seja, concavidade para cima.
    O ponto x=tfrac112 é de inflexão, pois f'' muda de sinal ali e f está definida. Seu valor é
f!l(tfrac112r) =l(tfrac112r)^2-4l(tfrac112-1r)^2 =tfrac1214-4l(tfrac92r)^2 =tfrac1054tfrac814 =10581 =3527

Resposta

Concavidade para baixo em (-infty,1)cup(1,tfrac112).
Concavidade para cima em (tfrac112,infty).
Ponto de inflexão em l(tfrac112,tfrac3527r).

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