(c) Encontre, caso existam, os intervalos onde o gráfico da função
tem concavidade para cima
onde tem concavidade para baixo. E, encontre, caso existam, os pontos de inflexão.
(c) Encontre, caso existam, os intervalos onde o gráfico da função
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede os intervalos de concavidade (para cima ou para baixo) e os pontos de inflexão. O conteúdo aqui é usar a segunda derivada
: onde
a curva é côncava para cima, onde
é côncava para baixo, e pontos de inflexão ocorrem onde
muda de sinal (e
está definida).
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
por regra do quociente, com
e
:
Fatorando
no numerador:
Passo 3
Agora derivamos
. Usando derivada de produto/chain rule:
Logo
Colocando sobre o mesmo denominador
e simplificando, chega-se a
Passo 4
Para achar possíveis pontos de inflexão, resolvemos
:
O denominador nunca zera para
, então o único candidato em domínio de
é
.
Como sempre (para
), o sinal de
é o sinal de
:
Como
- Se
, então e . - Se
, então e .
Passo 5
Logo, nos dois ramos de domínio
e
:
- Para todo
(incluindo todo e ), temos , ou seja, concavidade para baixo. - Para
(ou seja, todo ), temos , ou seja, concavidade para cima.
O pontoé de inflexão, pois muda de sinal ali e está definida. Seu valor é
Resposta
Concavidade para baixo em
.
Concavidade para cima em .
Ponto de inflexão em .
Concavidade para cima em
Ponto de inflexão em