Derive as funções:
(b) g(x)=(e^2 x+4)^cos (x^2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=l(e^2x+4r)^cos(x^2)
O conteúdo principal aqui é usar diferenciação de potências com expoente variável, o que a gente resolve aplicando logaritmo e depois a regra da cadeia e do produto.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de g(x) para simplificar a diferenciação:
ln g(x)=cos(x^2),lnl(e^2x+4r)

Passo 3

Agora aplicamos a derivada em ambos os lados. Pela regra da cadeia,
g'(x)g(x)=ddxl[cos(x^2),ln(e^2x+4)r]

Passo 4

Para derivar o produto cos(x^2)cdotln(e^2x+4) usamos a regra do produto:
  • Derivada de cos(x^2) é
ddxcos(x^2)=-sin(x^2)cdot2x=-2xsin(x^2)
  • Derivada de ln(e^2x+4) é, pela cadeia,
ddxln(e^2x+4) =1e^2x+4cdotddxe^2x =2e^2xe^2x+4

Passo 5

Juntando pela regra do produto, obtemos
g'(x)g(x) =-2xsin(x^2),lnl(e^2x+4r) +cos(x^2),2e^2xe^2x+4
Multiplicando pelos dois lados por g(x),
g'(x)=g(x),l[ -2xsin(x^2),ln(e^2x+4) +cos(x^2),2e^2xe^2x+4 r]

Passo 6

Substituindo g(x)=(e^2x+4)^cos(x^2), a derivada final é
g'(x) =(e^2x+4)^cos(x^2)l[ -2xsin(x^2),lnl(e^2x+4r) +cos(x^2),2e^2xe^2x+4 r]

Resposta

g'(x) =(e^2x+4)^cos(x^2)l[ -2xsin(x^2),lnl(e^2x+4r) +cos(x^2),2e^2xe^2x+4 r]

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